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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 26

Em cada um dos problemas de23 a 26, use a fórmula de Euler modificada do Problem 22   com h   =   0,05 para calcular valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t   =   0,1 ;   0,2 ;   0,3   e   0,4 . Compare os resultados com os obtidos nos Problemas de 1 a 4 .

26. y ' = 2 t + e - t y ,     y 0 = 1

Passo 1

Bora lá pra mais um probleminha sobre métodos numéricos.

Olha só! A fórmula de E u l e r modificada para a equaçãozinha do nosso problema tem a seguinte cara...

y n + 1 = y n + h 2 t n + h + e - t n + h 2 ⋅ K n

Sendo que...

K n = y n + h 2 [ 2 t n + e - t n y n ]

Só que nós sabemos que...

t n = t 0 + n h

Com...

t 0 = 0

Desse modo, a nossa fórmula de y n + 1 vai ficar...

y n + 1 = y n + h 2 n h + h + e - n h + h 2 ⋅ K n

Não esquecendo também de modificar K n ...

K n = y n + h 2 [ 2 t n + e - t n y n ]

K n = y n + h 2 2 n h + e - n h y n

Pronto! O primeiro passo já foi traçado. Vamos agora, partir pra resolução computacional...

Passo 2

Para isso, vamos usar a seguinte estrutura abaixo em forma de algoritmo a fim de fazer o nosso código...

P a s s o   1 : D e f i n i r   a   f u n ç ã o   d e   i t e r a ç ã o   y n + 1

P a s s o   2 : D e f i n i r   o   t a m a n h o   d o   p a s s o   e   d o   v a l o r   i n i c i a l   y ( 0 )

P a s s o   3 : F a z e r   n   r e c e b e r   0 ,   p a r a   q u e   e l e   v e n h a   a   s e r   i n c r e m e n t a d o   e m   n o s s o s   c ó d i g o

P a s s o   4 : P a r a   i   d e   1   a t é   u m   t a m a n h o   T A M   d e   0 . 4 h   f a ç a  

P a s s o   5 :  

K n = y n + h 2 2 n h + e - n h y n

y n + 1 = y n + h 2 t n + h + e - t n + h 2 ⋅ K n

i = i + 1  

n = n + 1  

P a s s o   6 : E s c r e v a   ( y n + 1 )

P a s s o   7 : F i m

Passo 3

Desse modo, utilizando uma linguagem de programação qualquer, C ou P y t h o n , é possível determinar o que a gente quer. No caso, bora usar a C ...

Usando o seguinte código abaixo, feito com todo carinho do mundo...

E compilando ele, num total de iterações ( T A M ) , igual à...

T A M = 0.4 h

T A M = 0.4 0.05 = 8

Chegamos até a seguinte imagem abaixo...

Onde de quebra, obtemos a seguinte tabela...

E pronto! Resposta encontrada!

Resposta

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Em cada um dos problemas de 7 a 12, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t = 0,5;1,0; 1,5e 2,0.(a) Useo método de Euler aprimoradocom h = 0,025. (b) Useo método
Em cada um dos problemas de 7 a 12, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t = 0,5;1,0; 1,5e 2,0.(a) Useo método de Euler aprimoradocom h = 0,025. (b) Useo método
Em cada um dos problemas de 7 a 12, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t = 0,5;1,0; 1,5e 2,0.(a) Useo método de Euler aprimoradocom h = 0,025. (b) Useo método
Em cada um dos problemas de 7 a 12, encontre valores aproximados da solução do problema de valor inicial dado em t = 0,5;1,0; 1,5e 2,0.(a) Useo método de Euler aprimoradocom h = 0,025. (b) Useo método
13. Complete os cálculos necessários para obter os elementos nas colunas quatro e cinco da Tabela 8.2 . 1