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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 13

13. Complete os cálculos necessários para obter os elementos nas colunas quatro e cinco da Tabela 8.2 . 1

Passo 1

O que queremos nesse exercício, é completar as colunas quatro e cinco da tabela 8.2 . 1 usando o método de E u l e r   aperfeiçoado e sabendo que os passos devem ser 0,025 e 0,001 , respectivamente.

Bora lá pra mais um probleminha sobre método de E u l e r aperfeiçoado. A nossa equação é dada por...

y ' = 1 - t + 4 y ,       y 0 = 1

Olha só! A fórmula aperfeiçoada de E u l e r para a equação diferencial do nosso problema será...

y n + 1 = y n + h 2 1 - t n + 4 y n + h 2 1 - t n + 1 + 4 K n

Sendo que K n é igual à...

K n = y n + h 1 - t n + 4 y n

Na prática, o que estamos fazendo é uma iteração dentro de outra iteração. Voltando ao que interessa, não podemos esquecer que...

t n = t 0 + n h

Com t 0 = 0 ...

Desse modo, nossa expressão geral y n + 1 vai ser...

y n + 1 = y n + h 2 1 - t n + 4 y n + h 2 1 - t n + 1 + 4 K n

y n + 1 = y n + h 2 1 - n h + 4 y n + h 2 1 - n + 1 h + 4 y n + h 1 - t n + 4 y n

y n + 1 = y n + h 2 1 - n h + 4 y n + h 2 1 - n + 1 h + 4 y n + h 1 - n h + 4 y n

Agora vamos dar um jeito de resolver esse problema computacionalmente.

Passo 2

Para isso, vamos usar a seguinte estrutura abaixo em forma de algoritmo...

P a s s o   1 : D e f i n i r   a   f u n ç ã o   y n + 1  

P a s s o   2 : D e f i n i r   o   t a m a n h o   d o   p a s s o   h   e   o   n ú m e r o   d e   p a s s o s   n    

P a s s o   3 : P a r a   i   d e   1   a t é   u m   t a m a n h o   d e   2 h   f a ç a  

P a s s o   4 :  

y n + 1 =   y n + h 2 1 - n h + 4 y n + h 2 1 - n + 1 h + 4 y n + h 1 - n h + 4 y n

i = i + 1  

n = n + 1  

P a s s o   5 : E s c r e v a   y n + 1

P a s s o   6 : F i m

Passo 3

Desse modo, utilizando uma linguagem de programação qualquer, C ou P y t h o n , é possível determinar o que a gente quer. No caso, bora usar a C ...

Usemos o seguinte código abaixo, feito com todo carinho do mundo...

No caso, estamos fazendo primeiro para h = 0,025 .

É importante ressaltar que colocamos um condicional em nosso código, pra aparecer apenas os valores que procurávamos. Fizemos isso, colocando um " i f " para que toda vez que o resto da divisão de i por 20 desse zero, o programa printasse o valor de y em j .

Assim... Compilando o código, num total de iterações igual à...

T A M = 2 h = 2 0.025 = 80

Obtemos os seguintes valores abaixo...

Passo 4

Já no caso de h   ser igual a 0 . 001 .

O tamanho T A M de iterações que tem que ser feito é...

T A M = 2 0 . 001 = 2000

Desse modo, compilando o código, já alterando o tamanho do passo e o número de iterações, obtemos que...

Pronto!Tabela completada!

Resposta

Para h = 0 . 025

Para h = 0 . 001

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