Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.9 - Ex. 3
Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
Passo 1
Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.
Determinado os autovalores e autovetores:
Para isto utilizaremos a seguinte relação:
Em que os autovalores serão as raízes do .
Determinando os autovalores:
Tendo as raízes:
Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando , temos:
Reduzindo o sistema para:
Para :
Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando , como temos uma raiz complexa conjugado o autovetor será também complexo conjugado, temos:
Para :
Determinando a parte homogênea temos:
Este deixarei ele ali para você já ter em mente quando ver ele.
Passo 2
Agora vamos determinar a solução para um sistema não homogêneo, que é objetivo do exercício:
Tendo , assumindo substituiremos na equação inicial:
Multiplicando toda equação por temos:
Resultando em:
Em que é matriz com diagonal principal formada pelos autovalores e .
Com isto enunciado podemos escrever a equação:
Tendo a solução não homogênea, como:
E podemos reescreve-la com estas letras, , em que é a solução homogênea e solução não homogênea do sistema.
Determinado a aí inversa de :, invertendo a posição dos itens diagonal principal, invertendo o sinal da outra diagonal e sendo multiplicado pelo inverso de seu determinante, temos:
Multiplicando por , temos:
Passo 3
Possuímos a equação . Portanto, o único item que nos resta é integrar é último termo dela.
Finamente agora podemos executar o produto para determinar a solução do sistema não homogêneo.
Passo 4
Agora temos a solução geral do sistema não homogêneo: