Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.9 - Ex. 5
Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.
Passo 1
Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.
Determinado os autovalores e autovetores:
Para isto utilizaremos a seguinte relação:
Em que os autovalores serão as raízes do .
Determinando os autovalores:
Tendo as raízes:
Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando , temos:
Reduzindo o sistema para:
Para :
Vamos agora determinar o autovetor associado a segunda solução do sistema homogêneo. Perceba que neste caso possuímos autovalores repetidos portanto, temos eu encontrar outro autovetor que satisfaça o primeiro autovetor, colocando , temos:
Reduzindo o sistema para:
Para :
Caso o sistema fosse homogêneo a solução geral seria:
Passo 2
Agora vamos determinar a solução para um sistema não homogêneo, que é objetivo do exercício:
Primeiramente vamos escrever a matriz que é formada pelos autovetores associados matriz inicial, e calcularemos a inversa de .
Determinado a aí inversa de , invertendo a posição dos itens diagonal principal, invertendo o sinal da outra diagonal e sendo multiplicado pelo inverso de seu determinante, temos:
Tendo , assumindo substituiremos na equação inicial:
Multiplicando toda equação por temos:
Resultando em:
Em que é matriz com diagonal principal formada pelos autovalores e .
Com isto enunciado podemos escrever a equação:
Perceba que estamos tendo um sério problema, pois nossos coeficientes não homogêneos estão zerando, bem para solucionar isto podemos resolver a equação utilizando a forma de Jordan da matriz:
Portanto podemos escrever a solução da seguinte forma:
Passo 3
Possuímos um sistema que tem duas variáveis lineares independentes não homogêneas, e por isto podemos resolver pelo método da variação de constantes.
Temos que ’:
Tendo :
Integrando dos dois lados da equação, fica:
Agora substituindo em , temos:
Integrando dos dois lados de , temos:
Tendo resultado final como:
Efetuando a multiplicação temos: