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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.9 - Ex. 1

Em cada um dos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equações dado.

x ' = 2 - 1 3 - 2 x + e t t

Passo 1

Primeiramente vamos determinar os autovalores e autovetores do sistema, determina a solução geral para um sistema homogêneo e por final iremos trabalhar com sistema não homogêneo.

Determinado os autovalores e autovetores:

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) . E:

A = 2 - 1 3 - 2

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 2 - 1 3 - 2 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = 2 - r - 1 3 - 2 - r

Fazendo esse determinante:

det ⁡ A - r I = 2 - r - 2 - r - ( 3 ) ( - 1 )

det ⁡ A - r I = r 2 - 1

Tendo as raízes:

r 2 - 1 = 0

r 1,2 = ± 1

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = 1 na matriz A - r I , temos:

A - r I ξ = 0

A - r I = 2 - r - 1 3 - 2 - r

Substituindo r = 1 :

1 - 1 3 - 3 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

ξ 1 - ξ 2 = 0

3 ξ 1 - 3 ξ 2 = 0

Resolvendo esse sistema:

ξ 1 = ξ 2

Para r = 1 , nossa matriz ξ fica:

ξ = ξ 1 ξ 2

ξ = 1 1

x 2 t = 1 1 ∙ e t

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = - 1 , temos:

A - r I v = 0

A - r I = 2 - r - 1 3 - 2 - r

Substituindo r = - 1 :

3 - 1 3 - 1 ∙ v 1 v 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

3 v 1 - v 2 = 0

3 v 1 - v 2 = 0

Assim:

v 1 = v 2 3

Para r = - 1 :

v = v 1 v 2

v = 1 3

x 1   = 1 3 e - t

Caso o sistema fosse homogêneo a solução geral seria:

x = c 1 x 1 + c 2 x 2

x = c 2 1 1 ∙ e t + c 1 1 3 e - t

Passo 2

Agora vamos determinar a solução para um sistema não homogêneo, que é objetivo do exercício:

Primeiramente vamos escrever a matriz T que é formada pelos autovetores associados matriz inicial, e calcularemos a inversa de T .

Os autovetores eram:

v = 1 3

ξ = 1 1

Assim:

T = 1 1 3 1

Determinado a inversa de T , invertendo a posição dos itens diagonal principal, invertendo o sinal da outra diagonal e sendo multiplicado pelo inverso de seu determinante, temos:

T - 1 = - 1 2 3 - 1 - 1 1

Tendo x = T y , assumindo e t t = g t substituiremos na equação inicial:

x ' = A x + g t

T y ' = A T y + g t

Multiplicando toda equação por T - 1 temos:

T - 1 T y ' = T - 1 A T y + T - 1 g t

Resultando em:

y ' = D y + h t

Em que D é matriz com diagonal principal formada pelos autovalores e h t = T - 1 g t .

Com isto enunciado podemos escrever a equação:

y ' = D y + T - 1 g t

y ' = - 1 0 0 1 y + - 1 2 ∙ 3 - 1 - 1 1 e t t

y ' = - 1 0 0 1 y 1 y 2 + - 1 / 2 1 / 2 3 / 2 - 1 / 2 e t t

Passo 3

Possuímos um sistema que tem duas variáveis lineares independentes não homogêneas, e por isto podemos resolver pelo método da variação de constantes.

y ' = - 1 0 0 1 y 1 y 2 + - 1 / 2 1 / 2 3 / 2 - 1 / 2 e t t

Temos que y 1 :

y 1 ' = - y 1 - 1 2 e t + 1 2 t

Tendo como:

y 1 = u t ∙ e - t → y 1 ' = u ' t e - t - u t e - t

Executando a derivada e substituindo:

u ' t e - t = - u t e - t - 1 2 e t + 1 2 t

Agora dividindo os dois lados por e - t , temos:

u ' t = - 1 2 e 2 t + 1 2 t e t

Agora temos que encontrar a função primitiva de u t :

u t = - 1 2 ∫ e 2 t d t + 1 2 ∫ t e t d t

u t = - 1 4 e 2 t + 1 2 t e t - e t + c 1

Portanto y 1 fica:

y 1 = - 1 4 e 2 t + 1 2 t e t - e t + c e - t

y 1 = c 1 e - t - 1 4 e t + 1 2 t - 1 2

Repetindo os mesmos passos para y 2 , temos:

y 2 = 3 2 t e t + 1 2 t + 1 2 + c 2 e t

Tendo resultado final como:

x = T ∙ y 1 y 2  

x = 1 1 3 1 ∙ c 1 e - t - 1 4 e t + 1 2 t - 1 2 3 2 t e t + 1 2 t + 1 2 + c 2 e t  

Efetuando a multiplicação temos:

x = 1 3 c 1 e - t + 1 1 c 2 e t + 3 2 t - 1 4 3 2 t - 3 4 e t + 1 2 t - 0 1

Resposta

x = 1 3 c 1 e - t + 1 1 c 2 e t + 3 2 t - 1 4 3 2 t - 3 4 e t + 1 2 t - 0 1

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