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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 1

Calcular a integral indefinida.

int (1 + s e n x)/(s e n x ( 1 + cos x )) d x

Passo 1

Vamos lá, a gente tem aqui uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

t = t g (x)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n x = (2 t)/(1 + t^2) ; cos x = (1 - t^2)/(1 + t^2) e d x = (2 d t)/(1 + t^2)

Vamos lá então...

Passo 2

Substituindo, fica assim:

int ((1 + (2 t)/(1 + t^2)) ((2 d t)/(1 + t^2)))/((2)/(1 + t^2) (1 + (1 - t^2)/(1 + t^2)))

Agora vamos dar uma ajeitadinha...

int ((1 + t^2 + 2 t)/(1 + t^2) * ((2 d t)/(1 + t^2)))/((2 t)/(1 + t^2) * (1 + t^2 + 1 - t^2)/(1 + t^2))

= int ((2 (1 + t^2 + 2 t))/((1 + t^2)^2))/((4 t)/((1 + t^2)^2)) d t

= int (2 (t + 1)^2)/(4 t) d t

(1)/(2) int ((t + 1)^2)/(t) d t

Passo 3

Vamos expandir ali em cima pra simplificar...

(1)/(2) int (t^2 + 2 t + 1)/(t) d t

= (1)/(2) int (t^2)/(t) + (2 t)/(t) + (1)/(t) d t

= (1)/(2) int t + 2 + (1)/(t) d t

Agora a gente integra:

= (1)/(2) [(t^2)/(2) + 2 t + ln | t |]

= (t^2)/(4) + t + (ln | t |)/(2) + C

Passo 4

Ótimo! Agora é só voltar pra variável x que a gente tinha...

= (t g^2 ((x)/(2)))/(4) + t g ((x)/(2)) + ln |t g ((x)/(2))| + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

(t g^2 ((x)/(2)))/(4) + t g ((x)/(2)) + ln |t g ((x)/(2))| + C

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