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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 2

Calcular a integral indefinida.

int (d x)/(1 + s e n x + cos x)

Passo 1

Vamos lá, a gente tem aqui uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

t = t g (x)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n x = (2 t)/(1 + t^2) ; cos x = (1 - t^2)/(1 + t^2) e d x = (2 d t)/(1 + t^2)

Vamos lá então...

Passo 2

Substituindo, fica assim:

int ((2 d t)/(1 + t^2))/(1 + ((2 t)/(1 + t^2) + (1 - t^2)/(1 + t^2)))

Aí a gente simplifica:

int (2 d t)/(2 t + 2) d t

= int (d t)/(1 + t) d t

Agora é só integrar...

= ln |t + 1| + C

Passo 3

Beleza, só falta voltar pra variável x agora...

= ln |t g (x)/(2) + 1| + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

ln |t g (x)/(2) + 1| + C

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