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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 2d

1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.

2. d) ∫ 0 1 x 3 x 2 + 3 d x ; u = x 2 + 3

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de questão o intuito é só pegar a ideia de como resolver uma integral por substituição, tanto que não devemos calcular de fato a integral, apenas deixa-la nos moldes corretos! Vale ressaltar aqui que como queremos expressar a integral em termos da variável u , então também devemos alterar os intervalos de integração, ok? Então bora lá!

Nossa integral é:

∫ 0 1 x 3 x 2 + 3 d x

E nossa substituição é:

u = x 2 + 3

Disso podemos tirar que:

x 2 = u - 3

Derivando para descobrirmos d u em função de d x :

d u = 2 x d x

∴ d u 2 = x d x

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ 0 1 x 3 x 2 + 3 d x = 1 2 ∫ 0 1 u - 3 u d u

Ok, primeira parte finalizada!

Passo 2

Por fim, o que devemos fazer agora é alterar os intervalos de integração, uma vez que não estamos mais integrando em relação a x , e sim em relação a u ! Os intervalos são: x = 0 e x = 1 , certo? Utilizando a substituição indicada, teremos:

u 0 = 0 2 + 3 = 3

u 1 = 1 2 + 3 = 4

Logo, nossa integral será:

∫ 0 1 x 3 x 2 + 3 d x = 1 2 ∫ 3 4 u - 3 u d u

E está aí nosso lindo resultado, galera!

Resposta

∫ 0 1 x 3 x 2 + 3 d x = 1 2 ∫ 3 4 u - 3 u d u

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