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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 9

Calcular a integral indefinida.

int (cos ( 2 t - 1 ))/(2 - cos ( 2 t - 1 )) d t

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

t = t g (x)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n x = (2 t)/(1 + t^2) ; cos x = (1 - t^2)/(1 + t^2) e d x = (2 d t)/(1 + t^2)

Mas nesse aqui, antes de fazer essa substituição, a gente vai fazer outra. Vamos colocar:

u = 2 t - 1

d u = 2 d x

Passo 2

Substituindo a primeira vez, fica:

(1)/(2) int (cos u)/(2 - cos u) d u

Agora a gente pode fazer x = t g (u)/(2) (a gente não vai usar t porque é nossa variável inicial).

Fazendo as substituições, temos:

(1)/(2) int ((1 - x^2)/(1 + x^2))/(2 - (1 - x^2)/(1 + x^2)) * (2 d x)/(1 + x^2)

(1)/(2) int ((1 - x^2)/(1 + x^2))/((2 + 2 x^2 - 1 + x^2)/(1 + x^2)) * (2 d x)/(1 + x^2)

int (1 - x^2)/(3 x^2 + 1) * (d x)/(1 + x^2)

int (1 - x^2)/((1 + x^2) (3 x^2 + 1)) d x = (1)/(3) int (1 - x^2)/((1 + x^2) (x^2 + (1)/(3)))

Passo 3

Pra integrar isso aí agora, a gente vai ter que usar frações parciais. Aqui vai ficar assim:

(1 - x^2)/((1 + x^2) (x^2 + (1)/(3))) = (A x + B)/(1 + x^2) + (C x + D)/(t^2 + (1)/(3))

Aí a gente desenvolve...

1 - x^2 = ( A x + B ) (x^2 + (1)/(3)) + ( C x + D ) ( x^2 + 1 )

Daqui a gente tira que:

{[[A + C = 0],[B + D = 0],[(1)/(3) A + C = 0],[(1)/(3) B + D = 1]])

Ou seja:

A = 0 ; B = - 3 ; C = 0 e D = 2

Passo 4

A gente pode reescrever a integral assim agora:

I = (1)/(3) int - (3)/(1 + x^2) + (2)/(x^2 + (1)/(3)) d x

Aí integrando a gente fica com:

- a r c t g x + (2)/(sqrt(3)) a r c t g (sqrt(3) x) + C

Agora voltamos para a variável inicial que é t :

= - a r c t g ((t g (2 t - 1))/(2)) + (2)/(sqrt(3)) a r c t g (sqrt(3) (t g (2 t - 1))/(2)) + C

Pronto!!

Resposta

- a r c t g ((t g (2 t - 1))/(2)) + (2)/(sqrt(3)) a r c t g (sqrt(3) (t g (2 t - 1))/(2)) + C

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1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.2. c) ∫ 0 π 4 t g 2 x s e c 2 x d x ; u = t gx
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.15. ∫ - ln ⁡ 3 ln ⁡ 3 e x e x + 4 d x
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.9. ∫ 0 8 x 1 + x d x
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.12. ∫ 0 π 6 2 cos ⁡ 3 x d x