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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 11

5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.

11. ∫ 0 π 2 4 s e n   x 2 d x

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral que nos foi dada utilizando as duas maneiras citadas pelo enunciado, vamos relembrar rapidinho qual é a diferença entre elas, ok?

Substituir u na integral definida significa calcular toda a integral em termos de u , inclusive os os intervalos de integração são alterados a partir da relação entre u e x ;

Por outro lado, substituir u na integral indefinida significa apenas utilizar essa substituição para calcular a integral e depois retornar à nossa variável original (que é x no nosso caso) e sem alterar os limites de integração!

Beleza! Tendo em vista esses conceitos, então bora que bora!

Passo 2

A integral que nos foi dada é:

∫ 0 π 2 4 s e n   x 2 d x

Vamos utilizar a seguinte substituição:

u = x 2

Encontrando a relação entre d u e d x :

d u = 1 2 d x

∴ 2 d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ 0 π 2 4 s e n   x 2 d x = 8 ∫ 0 π 2 s e n   u d u

Ok, espero que tenha feito sentido até aqui! Bora continuar!

Passo 3

Resolvendo da primeira maneira, isto é, substituindo u na integral definida, teremos:

u = x 2

u π 2 = π 2 2 = π 4

u 0 = 0

Aqui o que fizemos foi alterar os intervalos de integração utilizando a substituição que escolhemos no passo 2! Dessa forma, teremos:

8 ∫ 0 π 4 s e n   u d u = - 8 cos ⁡ u π 4 0

8 ∫ 0 π 4 s e n   u d u = - 8 cos ⁡ π 4 - cos ⁡ 0 = 8 - 4 2

Agora resolvendo da segunda maneira, isto é, voltando à nossa variável x depois de resolver a integral, teremos:

8 ∫ 0 π 2 s e n   u d u = - 8 cos ⁡ u π 2 0

8 ∫ 0 π 2 s e n   u d u = - 8 cos ⁡ x 2 π 2 0 = - 8 cos ⁡ π 4 - cos ⁡ 0 = 8 - 4 2

Note que os resultados deram idênticos, como era para acontecer. E estão aí nossos resultados, pessoal!

Resposta

∫ 0 π 2 4 s e n   x 2 d x = 8 - 4 2

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