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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.1 - Ex. 8

Calcular o limite, caso ele exista:

underset(x -> 0)(lim) (t g (x) - x)/(x - s e n ( x ))

Passo 1

Notem que ao fazermos x -> 0 teremos uma indeterminação do tipo (0)/(0) então, temos que fugir disso!!! Mas, como vamos fazer isso?!

Para resolver nosso problema, vamos usar um teorema MUITO famoso, conhecido como Teorema de L’Hôpital:

Sendo f ( x ) e g ( x ) duas funções diferenciáveis em um intervalo aberto I , exceto, possivelmente em um número a contido nesse intervalo. Suponha que para todo x != a em I , temos que g ' ( x ) != 0 . Então, se underset(x -> a)(lim) f ( x ) = 0 e underset(x -> a)(lim) g ( x ) = 0 e se:

underset(x -> a)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = L

Temos que:

underset(x -> a)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = L

Passo 2

ATENÇÃO MÁXIMA: ((f (x))/(g (x)))^' != (f ' ( x ))/(g ' ( x ))

NÃO vamos efetuar a regra da derivada do quociente, vamos fazer a divisão das respectivas derivadas, como dita o teorema!!!

Agora, vamos dar nomes aos bois:

f (x) = t g (x) - x

f^' (x) = s e c^2 (x) - 1

g (x) = x - s e n ( x )

g^' (x) = 1 - c o s ( x )

Lembrem-se da derivada trigonométrica tabelada: t g^' (x) = sec^2 ( x )

Então, temos que:

underset(x -> 0)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = underset(x -> 0)(l i m) (1)/(sec^2 ( x ))

Notem: nosso problema com a indeterminação sumiu!!!

Agora, vamos resolver a equação e correr pro abraço:

underset(x -> 0)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = underset(x -> 0)(l i m) (sec^2 (x) - 1)/(1 - c o s ( x ))

Observem: ao fazermos x -> 0 continuamos com o problema da indeterminação!!!

Para resolvermos esse problema, vamos aplicar novamente e verificar se conseguimos eliminar a indeterminação.

underset(x -> 0)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = underset(x -> 0)(lim) (f ' ' ( x ))/(g ' ' ( x ))

Antes, vamos, novamente, dar nomes aos cordeiros:

f^' (x) = s e c^2 (x) - 1

f ' ' (x) = 2 s e c^2 (x) t g ( x )

g^' (x) = 1 - c o s ( x )

g^(' ') (x) = s e n ( x )

Temos que:

underset(x -> 0)(lim) (f ' ' ( x ))/(g ' ' ( x )) = (2 sec^2 (x) t g ( x ))/(s e n ( x ))

underset(x -> 0)(lim) (f ' ' ( x ))/(g ' ' ( x )) = (2 sec^2 (x) t g ( x ))/(s e n ( x ))

underset(x -> 0)(lim) (f ' ' ( x ))/(g ' ' ( x )) = (2 sec^2 (x))/(s e n ( x )) (s e n ( x ))/(c o s ( x ))

underset(x -> 0)(lim) (f ' ' ( x ))/(g ' ' ( x )) = (2 sec^2 (x))/(c o s ( x ))

underset(x -> 0)(lim) (f^(' ') (x))/(g^(' ') (x)) = underset(x -> 0)(l i m) 2 s e c^3 (x)

Pasmem: a indeterminação sumiu!!!

Agora, vamos resolver a equação e correr pro abraço:

underset(x -> 0)(lim) (f ' ' ( x ))/(g ' ' ( x )) = underset(x -> 0)(l i m) 2 s e c^3 ( 0 )

underset(x -> 0)(lim) (f ' ' ( x ))/(g ' ' ( x )) = underset(x -> 0)(l i m) 2.1

underset(x -> 0)(lim) (f ' ' ( x ))/(g ' ' ( x )) = 2

Passo 3

Próximo passo, vamos fazer o uso do teorema dito para efetuar as devidas igualdades:

underset(x -> 0)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = underset(x -> 0)(lim) (f ' ( x ))/(g ' ( x )) = underset(x -> 0)(lim) (f ' ' ( x ))/(g ' ' ( x ))

Tendo que:

underset(x -> 0)(lim) (f ' ' ( x ))/(g ' ' ( x )) = 2

Então:

underset(x -> 0)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = 2

Sabendo que:

f (x) = t g (x) - x

g (x) = x - s e n ( x )

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (t g (x) - x)/(x - s e n ( x )) = 2

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