Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.4 - Ex. 9
Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essa para que a gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada ou não.
Então, antes de tudo, vamos tomar o limite e ver o que ocorre. Fazendo:
Analisando o limite dado pelo enunciado, vemos que quando ,
Portanto, obtemos a forma indeterminada
e a Regra de l’Hôspital é aplicável.
Passo 3
Lembrando que, se:
Podemos fazer:
Então precisamos das derivadas das funções que estão no numerador e no denominador. Assim, faremos:
Com
E
Com
e para que o limite exista.
Portanto, está dentro das condições da Regra.
Substituindo esses valores, obtemos
E calculando nosso limite, ficamos com:
E prontinho.