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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 1u

Calcule

(d x)/(d t) = alpha x (x + 2) (alpha c o n s t a n t e)

Passo 1

Primeiramente vamos colocar pra cada lado os termos com mesma variável:

(d x)/(d t) = alpha x (x + 2)

(d x)/(alpha x (x + 2)) = d t

Agora podemos integrar:

int (d x)/(alpha x (x + 2)) = int d t = t + k

Passo 2

A integral vai ficar:

int (d x)/(alpha x (x + 2)) = t + k

Pra fazer essa integral vamos usar integração por frações parciais:

(1)/(x (x + 2)) = (A)/(x) + (B)/(x + 2) = ((A (x + 2) + B x))/(x (x + 2))

Vamos achar que:

2 A = 1 -> A = (1)/(2)

E:

A + B = 0 -> A = - B -> B = - (1)/(2)

(1)/(alpha) int (d x)/(x (x + 2)) = (1)/(alpha) [int ((A)/(x) + (B)/(x + 2)) d x] = (1)/(alpha) [(1)/(2) int ((1)/(x)) d x - (1)/(2) int ((1)/(x + 2)) d x]

(1)/(alpha) [(1)/(2) ln | x | - (1)/(2) ln |x + 2|] = (1)/(2 alpha) ln |(x)/(x + 2)|

(1)/(2 alpha) ln |(x)/(x + 2)| = t + k

Passo 3

Se quisermos x :

(1)/(2 alpha) ln |(x)/(x + 2)| = t -> (x)/(x + 2) = e^(t^(2 alpha))

x = e^(t^(2 alpha )) (x + 2) = x e^(t^(2 alpha )) + 2 e^(t^(2 alpha ))

x - x e^(t^(2 alpha )) = 2 e^(t^(2 alpha ))

x (1 - e^(t^(2 alpha ))) = 2 e^(t^(2 alpha ))

x = (2 e^(t^(2 alpha )))/((1 - e^(t^(2 alpha ))))

x = (2 e^(t^(2 alpha )))/((1 - e^(t^(2 alpha )))) + k

Resposta

x = (2 e^(t^(2 alpha )))/((1 - e^(t^(2 alpha )))) + k

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