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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 2a

Determine y = y (x) que satisfaça as condições dadas

(d y)/(d x) = e^y e y (0) = 1

Passo 1

Primeiramente vamos colocar pra cada lado os termos com mesma variável:

(d y)/(d x) = e^y

(d y)/(e^y) = e^(- y) d y = d x

Agora podemos integrar:

int e^(- y) d y = int d x = x + k

Passo 2

A integral vai ficar:

int e^(- y) d y = x + k

Vamos aplicar uma substituição, tal que:

u = - y -> d u = - d y

- int e^u d u = x + k

- e^u = x + k

Voltando pra variálve y :

- e^(- y) = x + k

Passo 3

Se quisermos y :

e^(- y) = - x + k

- y = ln |k - x| -> y = - ln |k - x|

Passo 4

Agora vamos achar k substituindo x = 0

y ( 0 ) = - ln |k|

Sabemos que y (0) = 1 , então:

1 = - ln k -> k = e^(- 1) = (1)/(e)

Substituindo esse valor em y (x) :

y = - ln |(1)/(e) - x|

Resposta

y = - ln |(1)/(e) - x|

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A uma pequena mudança (perturbação) na condição inicial ou na própria equação, frequentemente corresponde uma mudança radical na solução para uma equação diferencial. Nos Problemas 53-56 compare as so
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