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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 1e

Calcule

int (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Passo 1

Para esse caso vamos fazer uma substituição tal que:

u = 1 - x^2 -> d u = - 2 x d x

- (1)/(2) int (1)/(sqrt(u)) d u = - (1)/(2) int u^(- (1)/(2)) d u

Passo 2

Sabemos integrar polinômio, apenas precisamos usar o teorema:

int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1)

Assim:

- (1)/(2) int u^(- (1)/(2)) d u = - (1)/(2) xx (u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1) + k = - (1)/(2) xx (u^((1)/(2)))/((1)/(2)) + k = - u^((1)/(2)) + k

Passo 3

Voltando pra variável x :

- u^((1)/(2)) + k = - (1 - x^2)^((1)/(2)) + k = - sqrt(1 - x^2) + k

Resposta

int (x)/(sqrt(1 - x^2)) d x = - sqrt(1 - x^2) + k

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