- Calcule as aproximações , e para a integral e os erros correspondentes , e .
- Compare os erros reais na parte (a) com as estimativas de erro dadas por () e ().
- Que tamanho de devemos escolher para que as aproximações , e para a integral na parte (a) tenham uma precisão de ?
Passo 1
- Temos o intervalo , e vamos usar , e com temos que :
- Para estimar os erros vamos usar as fórmulas dos erros nas Regras do Trapézio e do Ponto Médio:
- Aqui queremos achar o valor de para ter uma precisão de , vamos então aplicar nas fórmulas:
Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:
Passo 2
Agora vamos achar a aproximação do ponto médio , onde os dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:
Passo 3
Com a Regra de Simpson é usado parábolas ao invés de segmentos de reta para aproximar a curva, assim a fórmula fica com um padrão , , , , . . . , , , , :
Passo 4
Para achar os erros precisamos do valor real da integral:
Vamos agora achar os erros de , e :
Passo 5
Onde vamos tomar e ,
Podemos pegar qualquer valor para maior de , mas o menor valor possível vai dar uma melhor estimativa para os erros. Temos , e , vamos substituir nas fórmulas dos erros então:
Passo 6
Mas em Simpson , pois para ele deve ser par.
Resposta
- , e ,, e
- , e
- Para devemos ter , para devemos ter e para devemos ter