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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 21

  1. Calcule as aproximações T 10 , M 10 e S 10 para a integral ∫ 0 π sen ⁡ x d x e os erros correspondentes E T , E M e E S .
  2. Compare os erros reais na parte (a) com as estimativas de erro dadas por ( 3 ) e ( 4 ).
  3. Que tamanho de n devemos escolher para que as aproximações T n , M n e S n para a integral na parte (a) tenham uma precisão de 0,00001 ?

Passo 1

  1. Temos o intervalo 0 ≤ x ≤ π , e vamos usar n = 10 , e com f x = sen ⁡ x temos que ∆ x :

    2. ∆ x = b - a n = π - 0 10 = π 10

    Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

    T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

    T 10 = 1 2 ∆ x f 0 + 2 f π 10 + 2 f 2 π 10 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 8 π 10 + 2 f 9 π 10 + f π = 1 2 ∙ π 10 f 0 + 2 f π 10 + 2 f 2 π 10 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 8 π 10 + 2 f 9 π 10 + f π ≈ 1,983524

    Passo 2

    Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 10 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

    M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

    M 10 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f π 20 + f 3 π 20 + f 5 π 20 ∙ ∙ ∙ + f 17 π 20 + f 19 π 20 π 10 ≈ 2,008248

    Passo 3

    Com a Regra de Simpson é usado parábolas ao invés de segmentos de reta para aproximar a curva, assim a fórmula fica com um padrão 1 , 4 , 2 , 4 , 2 , . . . , 4 , 2 , 4 , 1 :

    S n = f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n ∆ x 3

    S 10 = f 0 + 4 f π 10 + 2 f 2 π 10 + 4 f 3 π 10 + ∙ ∙ ∙ + 4 f 9 π 10 + f π ∆ x 3 = f 0 + 4 f π 10 + 2 f 2 π 10 + 4 f 3 π 10 + ∙ ∙ ∙ + 4 f 9 π 10 + f π 1 3 . π 10 ≈ 2,000110

    Passo 4

    Para achar os erros precisamos do valor real da integral:

    ∫ 0 π sen ⁡ x d x = - cos ⁡ x 0 π = - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 = 1 - - 1 = 2

    Vamos agora achar os erros de E T , E M e E S :

    E T = r e a l - T 10 = ∫ 0 π sen ⁡ x d x - T 10 ≈ 2 - 1,983524 ≈ 0,016476

    E M = r e a l - M 10 = ∫ 0 π sen ⁡ x d x - M 10 ≈ 2 - 2,008248 ≈ - 0,008248

    E S = r e a l - S 10 = ∫ 0 π sen ⁡ x d x - S 10 ≈ 2 - 2,000110 ≈ - 0,000110

    Passo 5

  2. Para estimar os erros vamos usar as fórmulas dos erros nas Regras do Trapézio e do Ponto Médio:

    3. E T ≤ K b - a 3 12 n 2

    E M ≤ K b - a 3 24 n 2

    Onde vamos tomar K = 1 e 0 ≤ x ≤ π ,

    Podemos pegar qualquer valor para K maior de 1 , mas o menor valor possível vai dar uma melhor estimativa para os erros. Temos n = 10 , a = 0 e b = π , vamos substituir nas fórmulas dos erros então:

    E T ≤ K b - a 3 12 n 2 ≤ 1 π - 0 3 12 ∙ 10 2 = π 3 1200 ≈ 0,025839

    E M ≤ K b - a 3 24 n 2 ≤ 1 π - 0 3 24 ∙ 10 2 = π 3 2400 ≈ 0,012919

    E S ≤ K b - a 5 180 n 4 ≤ 1 π - 0 5 180 ∙ 10 2 = π 5 1800000 ≈ 0,000170

    Passo 6

  3. Aqui queremos achar o valor de n para ter uma precisão de 0,00   01 , vamos então aplicar nas fórmulas:

E T ≤ K b - a 3 12 n 2 ≤ 0,00001 ↔ 1 π - 0 3 12 n 2 ≤ 10 - 5 ↔ π 3 12 n 2 ≤ 1 10 5 ↔ 10 5 π 3 ≤ 12 n 2 ↔ n 2 ≥ 10 5 π 3 12 ↔ n ≥ 508,3  

E M ≤ K b - a 3 24 n 2 ≤ 0,00001 ↔ 1 π - 0 3 24 n 2 ≤ 10 - 5 ↔ π 3 24 n 2 ≤ 1 10 5 ↔ 10 5 π 3 ≤ 24 n 2 ↔ n 2 ≥ 10 5 π 3 24 ↔ n ≥ 359,4    

E S ≤ K b - a 5 180 n 4 ≤ 0,00001 ↔ 1 π - 0 5 180 n 4 ≤ 10 - 5 ↔ π 5 180 n 4 ≤ 1 10 5 ↔ 10 5 π 5 ≤ 180 n 4 ↔ n 4 ≥ 10 5 π 5 180 ↔ n ≥ 20,3    

Mas em Simpson n = 22 , pois para ele n deve ser par.

Resposta

  1. T 10 ≈ 1,983524 , M 10 ≈ 2,008248 e S 10 ≈ 2,000110 ,   E T ≈ 0,016476 , E M = ≈ - 0,008248 e E S ≈ - 0,000110
  2. E T ≈ 0,025839 , E M ≈ 0,012919 e E S ≈ 0,000170
  3. Para T n devemos ter n = 509 , para M n devemos ter n = 360 e para S n devemos ter n = 22
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(a) Expresse a área sob a curva y = x 5 de 0 até2 como um limite. (b) Use um sistema de computação algébrica para encontrar a soma em sua expressão da parte (a). (c) Calcule o limite da parte (a).
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