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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.1 - Ex. 29

(a) Expresse a área sob a curva y = x 5   de 0 até   2 como um limite.

(b) Use um sistema de computação algébrica para encontrar a soma em sua expressão da parte (a).

(c) Calcule o limite da parte (a).

Passo 1

Com a função dada podemos achar o seguinte delta:

∆ x = 2 - 0 n = 2 n

Nosso x i é:

x i = 0 + i ∆ x = 2 i n

Usando a definição:

A = l i m n → ∞ R n = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 i n 5 2 n =   lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 32 i 5 n 5 2 n   = lim n → ∞ ⁡ 64 n 6 ∑ i = 1 n i 5

Passo 2

Temos:

∑ i = 1 n i 5 C A S = n 2 n + 1 2 n 2 + 2 n - 1 12

Passo 3

Calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ 64 n 6 n 2 n + 1 2 n 2 + 2 n - 1 12 = 64 12 lim n → ∞ ⁡ n 2 + 2 n + 1 2 n 2 + 2 n - 1 n 2 n 2 =

16 3 l i m n → ∞ 1 + 2 n + 1 n 2 2 + 2 n - 1 n 2 = 16 3 * 1 * 2 = 32 3

Resposta

  1. A = lim n → ∞ ⁡ 64 n 6 ∑ i = 1 n i 5
  2. ∑ i = 1 n i 5 C A S = n 2 n + 1 2 n 2 + 2 n - 1 12
  3. 32 3
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Prove o teorema 5.4.4:sum_(i = 1)^n (F (i) + G (i)) = sum_(i = 1)^n F (i) + sum_(i = 1)^n G ( i )
Provar por indução matemática:sum_(i = 1)^n i^4 = (n (n + 1) (6 n^3 + 9 n^2 + n - 1))/(30)
Prove o teorema 5.4.5:sum_(i = a)^b F (i) = sum_(i = a + c)^(b + c) F ( i - c )
Provar por indução matemática:sum_(i = 1)^n i = (n ( n + 1 ))/(2)
Provar, sem indução matemática, que ∑ i = 1 n i 4 = n n + 1 [ 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 ) 30 (teorema 5.4.7).Sugestão: i 4 - i - 1 4 = 4 i 3 - 6 i 2 + 4 i - 1 ;assim, Teorema 5.4.6: ∑ i = 1 n F i - F i -