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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 28

Ache as aproximações T n , M n e S n para n = 6 e 12 . Então calcule os erros correspondentes E T , E M e E S . (Arredonde seu resultado para seis casas decimais. Você pode usar o comando soma em um sistema de computação algébrica.) Quais observações você pode fazer? Em particular, o que acontece aos erros quando n é dobrado?

∫ 1 4 1 x d x

Passo 1

Temos o intervalo 1 ≤ x ≤ 4 , e vamos usar n = 6 , e com f x = 1 x temos que ∆ x :

∆ x = 4 - 1 6 = 1 2

Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

T 6 = 1 2 ∙ 1 2 f 1 + 2 f 3 2 + 2 f 4 2 + 2 f 5 2 + 2 f 6 2 + 2 f 7 2 + f 4 ≈ 2,008966

Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 6 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

M 6 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 5 4 + f 7 4 + f 9 4 + f 11 4 + f 13 4 + f 15 4 1 2 ≈ 1,995572

Com a Regra de Simpson é usado parábolas ao invés de segmentos de reta para aproximar a curva, assim a fórmula fica com um padrão 1 , 4 , 2 , 4 , 2 , . . . , 4 , 2 , 4 , 1 :

S n = f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n ∆ x 3

S 6 = f 1 + 4 f 3 2 + 2 f 4 2 + 4 f 5 2 + 2 f 6 2 + 4 f 7 2 + f 4 1 3 ∙ 1 2 ≈ 2,000469

Passo 2

Para achar os erros precisamos do valor real da integral:

∫ 1 4 1 x d x = 2 x 1 4 = 4 - 2 = 2

Vamos agora achar os erros de E T , E M e E S :

E T = r e a l - T 6 = ∫ 1 4 1 x d x   - T 6 ≈ 2 - 2,008966 ≈ - 0,008966

E M = r e a l - M 6 = ∫ 1 4 1 x d x   - M 6 ≈ 2 - 1,995572 ≈ 0,004428

E S = r e a l - S 6 = ∫ 1 4 1 x d x   - S 6 ≈ 2 - 2,000469 ≈ - 0,00046 9

Passo 3

Agora com n = 12 , e com o intervalo 1 ≤ x ≤ 4 , com f x = 1 x temos que ∆ x :

∆ x = 4 - 1 12 = 1 4

Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

T 12 = 1 2 ∙ 1 4 f 1 + 2 f 5 4 + 2 f 6 4 + ∙ ∙ ∙ + 2 f 1 5 4 + f 4 ≈ 2,002269

Agora vamos achar a aproximação do ponto médio M 12 , onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo:

M n = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f x - 1 + f x - 2 + f x - 3 ∙ ∙ ∙ + f x - n ∆ x

M 12 = ∑ i = 1 n f x i - ∆ x = f 9 8 + f 11 8 + ∙ ∙ ∙ + f 29 8 + f 31 8 1 4 ≈ 1,998869

Com a Regra de Simpson é usado parábolas ao invés de segmentos de reta para aproximar a curva, assim a fórmula fica com um padrão 1 , 4 , 2 , 4 , 2 , . . . , 4 , 2 , 4 , 1 :

S n = f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 2 + 4 f x n - 1 + f x n ∆ x 3

S 12 = f 1 + 4 f 5 4 + 2 f 6 4 + 4 f 7 4 + 2 f 8 4 + ∙ ∙ ∙ + 4 f 15 4 + f 4 1 3 ∙ 1 4 ≈ 2,000036

Passo 4

Vamos agora achar os erros de E T , E M e E S :

E T = r e a l - T 12 = ∫ 1 4 1 x d x   - T 12 ≈ 2 - 2,002269 ≈ - 0,002269

E M = r e a l - M 12 = ∫ 1 4 1 x d x   - M 12 ≈ 2 - 1,998869 ≈ 0,001131

E S = r e a l - S 12 = ∫ 1 4 1 x d x - S 12 ≈ 2 - 2,000036 ≈ - 0,000036

Passo 5

Podemos perceber que E T e E M têm sempre sinais opostos e diminuem por um fator de 4 quando n é dobrado.

A aproximação de Simpson é muito mais precisas que as do Ponto Médio e do Trapézio, e E S parece diminuir por um fator de 16 quando n é dobrado.

Resposta

T 6 = 2,008966 , M 6 = 1,995572 e S 6 = 2,000469

E T = - 0,008966 , E M = 0,004428 e E S = - 0,000469 para n = 6

T 12 = 2,002269 , M 12 = 1,998869 e S 12 = 2,000036

E T = - 0 , 002269 , E M = 0,001131 e E S = - 0,000036 para n = 12

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