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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 1a

Calcule o comprimento da curva dada:

a ) gamma (t) = (t cos t , t sin t) , t in [0 , 2 pi]

Passo 1

Para calcular o comprimento de uma curva usamos:

Seja gamma (t) : [a , b] -> R^n uma curva com derivada contínua em [a , b] . Definimos o comprimento L (gamma) da curva gamma por:

L (gamma) = int_a^b ‖gamma^' (t)‖ d t

Sabendo que ‖gamma^' (t)‖ = sqrt(gamma '_1^2 + gamma '_2^2) , então:

L (gamma) = int_0^(2 pi ) sqrt([ (t cos t) ' ]^2 + [ (t sin t)^' ]^2) d t

(t cos t)^' = cos t - t sin t

(t sin t)^' = sin t + t cos t

sqrt((cos t - t sin t)^2 + (sin t + t cos t)^2) =

sqrt(cos^2 t - 2 t cos t sin t + t^2 sin^2 t + sin^2 t + 2 t cos t sin t + t^2 cos^2 t) =

sqrt(( cos^2 t + sin^2 t ) + t^2 ( sin^2 t + cos^2 t )) = sqrt(1 + t^2)

L (gamma) = int_0^(2 pi) sqrt(1 + t^2) d t

Passo 2

Encontrada a integral, podemos perceber que a integral pode ser feita pelo método da substituição trigonométrica:

L (gamma) = int_0^(2 pi) sqrt(1 + t^2) d t

Se Tivermos um triângulo retângulo com hipotenusa sqrt(1 + t^2) , com cateto adjacente 1, e o outro cateto oposto t , temos as seguintes relações:

sec theta = sqrt(1 + t^2) , tan theta = t -> d t = sec^2 theta d theta

Assim:

L (gamma) = int sec theta xx sec^2 theta d theta

Aqui teremos uma integral por partes, sendo que, como vimos na substituição, tan theta = t -> d t = sec^2 theta d theta , e vamos usar o sec theta = u -> sec theta tan theta d theta

int sec theta xx sec^2 theta d theta = tan theta sec theta - int sec theta tan^2 theta d theta

int sec theta xx sec^2 theta d theta = tan theta sec theta - int sec theta (sec^2 t - 1)^2 theta d theta =

int sec theta xx sec^2 theta d theta = tan theta sec theta - int sec^3 theta d theta + int sec theta

2 int sec theta xx sec^2 theta d theta = tan theta sec theta + int sec theta

int sec theta xx sec^2 theta d theta = (1)/(2) [tan theta sec theta + int sec theta]

Para calcular int sec theta , fazemos assim:

int sec theta xx ((tan theta + sec theta))/((tan theta + sec theta)) d theta = int ((sec theta tan theta + sec^2 theta))/((tan theta + sec theta)) d theta

u = (tan theta + sec theta) -> d u = (sec theta tan theta + sec^2 theta) d theta

int sec theta xx ((tan theta + sec theta))/((tan theta + sec theta)) d theta = int (1)/(u) d u = ln |u| = ln |tan theta + sec theta|

Voltando pra integral de int sec^3 theta :

int sec theta xx sec^2 theta d theta = (1)/(2) [tan theta sec theta + ln |tan theta + sec theta|]

Passo 3

Agora Vamos voltar pra variável t :

(1)/(2) [tan theta sec theta + ln |tan theta + sec theta|]

Vimos que tan theta = t e sec theta = sqrt(1 + t^2) , então:

(1)/(2) [t sqrt(1 + t^2) + ln |t + sqrt(1 + t^2)|] (2 pi)/(0) = (1)/(2) [2 pi sqrt(1 + 4 pi^2) + ln |2 pi + sqrt(1 + 4 pi^2)|] =

pi sqrt(1 + 4 pi^2) + (1)/(2) ln |2 pi + sqrt(1 + 4 pi^2)|

Resposta

L (gamma) = pi sqrt(1 + 4 pi^2) + (1)/(2) ln |2 pi + sqrt(1 + 4 pi^2)|

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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