Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 26d
Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
Passo 1
Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:
O que a gente vai fazer então é derivar a função que o enunciado der, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos. Até aí calculamos . Depois disso, encontramos a inversa dessa função, , e aí a nossa função reparametrizada vai ser , aí fechou.
Passo 2
Pra derivar a função , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein!
Derivando,
Passo 3
Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada!
Botando o em evidência:
E portanto, o módulo vai ser:
Passo 4
Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser e .
Integrando:
Substituindo os limites de integração:
Passo 5
Agora temos que achar a função inversa, . É assim: nós temos em função de , certo?
Pra encontrar a inversa, a gente só precisa isolar o em função de . Pra isso vamos resolver a equação do segundo grau em .
Simplificando,
A raiz é sempre positiva, certo? Então se usarmos o sinal de menos, ficaria menos alguma coisa, que é menor que . Só que o tá entre e , que ele disse no enunciado, então esse sinal não serve. Por isso, ficamos só com o positivo!
Vamos ajeitar também os limites. Se , vamos ter:
Então,
Passo 6
Prontinho, agora é só substituir a função na expressão de .