Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 26d

Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:

Passo 1

Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:

O que a gente vai fazer então é derivar a função que o enunciado der, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos. Até aí calculamos . Depois disso, encontramos a inversa dessa função, , e aí a nossa função reparametrizada vai ser , aí fechou.

Passo 2

Pra derivar a função , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein!

Derivando,

Passo 3

Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada!

Botando o em evidência:

E portanto, o módulo vai ser:

Passo 4

Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser e .

Integrando:

Substituindo os limites de integração:

Passo 5

Agora temos que achar a função inversa, . É assim: nós temos em função de , certo?

Pra encontrar a inversa, a gente só precisa isolar o em função de . Pra isso vamos resolver a equação do segundo grau em .

Simplificando,

A raiz é sempre positiva, certo? Então se usarmos o sinal de menos, ficaria menos alguma coisa, que é menor que . Só que o tá entre e , que ele disse no enunciado, então esse sinal não serve. Por isso, ficamos só com o positivo!