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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 25d

Escrever a função comprimento de arco de:

vec r (t) = (cos^3 t , s e n^3 t , (3)/(4) cos 2 t)

Passo 1

Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:

s (t) = int_a^t |vec r^' (t^*)| d t^*

O que a gente vai fazer então é derivar a função vec r ( t ) que o enunciado der, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos, e aí fechou. Bora lá!

Passo 2

Pra derivar a função vec r ( t ) , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein! Derivando,

vec r^' (t) = (3 cos^2 t xx (- s e n t) , 3 s e n^2 t xx (cos t) , (3)/(2) (- s e n 2 t))

Agora arrumamos um pouquinho:

vec r^' (t) = (- 3 s e n (t) cos^2 (t) , 3 s e n^2 (t) cos (t) , - (3)/(2) s e n (2 t))

Passo 3

Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada! Nessa parte a conta pode assustar, mas vamo que vamo!

|vec r^' (t)|^2 = (- 3 s e n (t) cos^2 (t))^2 + (3 s e n^2 (t) cos (t))^2 + (- (3)/(2) s e n (2 t))^2

Desenvolvendo as contas:

|vec r^' (t)|^2 = 9 s e n^2 (t) cos^4 ( t ) + 9 s e n^4 (t) cos^2 ( t ) + (9)/(4) s e n^2 ( 2 t )

Vamos transformar esse s e n ( 2 t ) em 2 s e n (t) c o s ( t ) , pela fórmula do arco duplo.

|vec r^' (t)|^2 = 9 s e n^2 (t) cos^4 ( t ) + 9 s e n^4 (t) cos^2 ( t ) + (9)/(4) (2 s e n (t) cos (t))^2

|vec r^' (t)|^2 = 9 s e n^2 (t) cos^4 (t) + 9 s e n^4 (t) cos^2 (t) + 9 s e n^2 (t) cos^2 (t)

Colocando 9 s e n^2 (t) cos^2 ( t ) em evidência:

|vec r^' (t)|^2 = 9 s e n^2 (t) cos^2 ( t ) [cos^2 (t) + s e n^2 (t) + 1]

Essa é a relação fundamental da trigonometria que apareceu ali dentro!

|vec r^' (t)|^2 = 9 s e n^2 (t) cos^2 ( t ) [1 + 1]

Portanto, o módulo vai ficar:

|vec r^' (t)| = 3 sqrt(2) s e n (t) c o s ( t )

Usando de novo o arco duplo pro seno:

|vec r^' (t)| = (3 sqrt(2))/(2) s e n ( 2 t )

Passo 4

Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser 0 e t .

s (t) = int_0^t |vec r^' (t^*)| d t^*

s (t) = int_0^t (3 sqrt(2))/(2) s e n (2 t^*) d t^*

Tirando as constantes da integral:

s (t) = (3 sqrt(2))/(2) int_0^t s e n (2 t^*) d t^*

E integrando:

s (t) = (3 sqrt(2))/(2) (- (cos (2 t))/(2))_0^t

Substituindo os limites de integração:

s (t) = (3 sqrt(2))/(2) (- (cos (2 t))/(2) - (- (cos (0))/(2)))

s (t) = (3 sqrt(2))/(2) ((1 - cos (2 t))/(2))

E como cos (2 t) = 1 - 2 s e n^2 ( t ) :

s (t) = (3 sqrt(2))/(2) s e n^2 ( t )

Fechou!

Resposta

s (t) = (3 sqrt(2))/(2) s e n^2 ( t )

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