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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 1r

Calcule

(d y)/(d x) = cos^2 y , (pi)/(2) < y < (3 pi)/(2)

Passo 1

Primeiramente vamos colocar pra cada lado os termos com mesma variável:

(d y)/(d x) = cos^2 y -> (d y)/(cos^2 y) = d x

Agora podemos integrar:

int (d y)/(cos^2 y) = int d x

Passo 2

A integral vai ficar:

int (d y)/(cos^2 y) = int d x

Lembrando que:

(1)/(cos y) = sec y

Então:

int ((1)/(cos y))^2 d y = int sec^2 y d y = x

Sabemos que a primitiva de sec^2 y é tan y , assim:

int sec^2 y d y = tan y + k = x

tan y + k = x

Passo 3

Se quisermos y , teremos:

tan y + k = x -> tan y = x - k -> y = arctan (x - k)

Resposta

y = arctan (x - k)

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