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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 16b

1.Calcule

int_((- pi)/(2))^((pi)/(2)) sin 3 x sin 4 x d x

Passo 1

Lembrando da Formula :

sin a sin b = (1)/(2) [cos (a - b) - cos (a + b)]

Fazendo a = 4 x e b = 3 x

sin (3 x) sin (4 x) = (1)/(2) [cos (x) - cos (7 x)]

Passo 2

Agora substituiremos a expressão na integral e calcularemos sua primitiva :

int sin 3 x sin 4 x d x = (1)/(2) int cos x d x - (1)/(2) cos (7 x) d x

int sin 3 x sin 4 x d x = (1)/(2) (sin x) - (1)/(2) ((1)/(7) sin (7 x))

int sin 3 x sin 4 x d x = (1)/(2) sin x - (1)/(14) sin ( 7 x ) + C

Passo 3

Lembrando que : sin ( - x ) = - sin x

Calcularemos a Integral definida :

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) sin 3 x sin 4 x d x = (1)/(2) sin ((pi)/(2)) - (1)/(14) sin ((7 pi)/(2)) - ((1)/(2) sin (- (pi)/(2)) - (1)/(14) sin (- (7 pi)/(2)))

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) sin 3 x sin 4 x d x = (1)/(2) sin ((pi)/(2)) - (1)/(14) sin ((7 pi)/(2)) + (1)/(2) sin ((pi)/(2)) - (1)/(14) sin ((7 pi)/(2))

Sendo sin ((pi)/(2)) = 1 e cos ((7 pi)/(2)) = - 1 t e m o s :

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) sin 3 x sin 4 x d x = (1)/(2) (1) - (1)/(14) (- 1) + (1)/(2) (1) - (1)/(14) (- 1)

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) sin 3 x sin 4 x d x = (2)/(2) + (2)/(14) = ((14 + 2))/(14) = (16)/(14)

Simplificando teremos :

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) sin 3 x sin 4 x d x = (8)/(7)

Resposta

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) sin 3 x sin 4 x d x = (8)/(7)

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