1.Calcule

∫ - π 2 π 2 sin ⁡ 3 x sin ⁡ 4 x d x

Passo 1

Lembrando da Formula :

sin ⁡ a sin ⁡ b =   1 2 cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b

Fazendo a = 4 x e b = 3 x

sin ⁡ 3 x sin ⁡ 4 x =   1 2 cos ⁡ x -   cos ⁡ 7 x

Passo 2

Agora substituiremos a expressão na integral e calcularemos sua primitiva :

∫ sin ⁡ 3 x sin ⁡ 4 x d x =   1 2 ∫ cos ⁡ x d x -   1 2 cos ⁡ 7 x d x

∫ sin ⁡ 3 x sin ⁡ 4 x d x =   1 2 sin ⁡ x - 1 2 1 7 sin ⁡ 7 x

∫ sin ⁡ 3 x sin ⁡ 4 x d x   = 1 2 sin ⁡ x - 1 14 sin ⁡ ( 7 x ) + C

Passo 3

Lembrando que : sin ⁡ ( - x ) = - sin ⁡ x

Calcularemos a Integral definida :

∫ - π 2 π 2 sin ⁡ 3 x sin ⁡ 4 x   d x   =   1 2 sin π 2 ⁡   - 1 14 sin ⁡ 7 π 2 - 1 2 sin ⁡ - π 2 - 1 14 sin ⁡ - 7 π 2

∫ - π 2 π 2 sin ⁡ 3 x sin ⁡ 4 x   d x =     1 2 sin π 2 ⁡   - 1 14 sin ⁡ 7 π 2   +   1 2 sin π 2 ⁡   - 1 14 sin ⁡ 7 π 2

Sendo sin ⁡ π 2 = 1           e       cos ⁡ 7 π 2 =   - 1             t e m o s   :

∫ - π 2 π 2 sin ⁡ 3 x sin ⁡ 4 x   d x =   1 2   1   - 1 14 - 1   + 1 2 1 - 1 14 - 1

∫ - π 2 π 2 sin ⁡ 3 x sin ⁡ 4 x   d x =   2 2 + 2 14   =   14 + 2 14 = 16 14

Simplificando teremos :

∫ - π 2 π 2 sin ⁡ 3 x sin ⁡ 4 x   d x =     8 7

Resposta

∫ - π 2 π 2 sin ⁡ 3 x sin ⁡ 4 x   d x =   8 7

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