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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 14

Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

14. int_(- (pi)/(3))^((pi)/(3)) (1 - cos 2 t)/(2) d t

Passo 1

Inicialmente, a primeira coisa que devemos fazer é escrever essa integral de outra maneira, se liga:

(1)/(2) int_(- (pi)/(3))^((pi)/(3)) d t - (1)/(2) int_(- (pi)/(3))^((pi)/(3)) cos 2 t d t

Para resolver essa segunda integral, teremos que utilizar o raciocínio do teorema fundamental do cálculo, ok? Temos que pensar o seguinte: qual é a função que quando derivada dá o integrando? Isto é:

F^' (x) = (d)/(d x) int_0^x f ( t ) d t = f ( x )

Parece um bicho de 7 cabeças, não é mesmo? Mas fazendo algumas questões já fica claro que não é. Se liga!

Passo 2

Que função que derivada dá cos 2 t ? Se pensarmos um pouquinho, veremos que é (1)/(2) s e n 2 t , certo? Aplicando esse raciocínio, teremos:

(1)/(2) int_(- (pi)/(3))^((pi)/(3)) d t - (1)/(2) int_(- (pi)/(3))^((pi)/(3)) cos 2 t d t = (1)/(2) [t] ((pi)/(3))/((- pi)/(3)) - (1)/(2) . (1)/(2) [s e n 2 t] ((pi)/(3))/((- pi)/(3))

(1)/(2) int_(- (pi)/(3))^((pi)/(3)) d t - (1)/(2) int_(- (pi)/(3))^((pi)/(3)) cos 2 t d t = (pi)/(3) - (sqrt(3))/(4)

:. int_(- (pi)/(3))^((pi)/(3)) (1 - cos 2 t)/(2) d t = (pi)/(3) - (sqrt(3))/(4)

Resposta

int_(- (pi)/(3))^((pi)/(3)) (1 - cos 2 t)/(2) d t = (pi)/(3) - (sqrt(3))/(4)

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Suponha que f tenha uma derivada positiva para todos os valores de x e que f 1 = 0 . Qual das seguintes afirmações deve ser verdadeira sobre a função g x = ∫ 0 x f td t Justifique sua resposta. g é um
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