Suponha que f(4) se ∫ 0 x f ( t )   d t = x cos ⁡ π x .

Passo 1

Uma equação envolvendo integral parece bastante complexo, não é? Bom, ela pode até parecer, mas no final, a sua resolução é bastante simples! Nós só precisamos relembrar um conceito, o qual é o teorema fundamental do cálculo parte 1. De uma forma bem resumida, se garantirmos a diferenciabilidade de uma função f , sabemos que, se F x = ∫ a x f t   d t , então:

F ' x = d d x ∫ a x f t   d t = f ( x )

Consequentemente, a função f ( x ) é a derivada da função F ( x ) ! Depois, basta fazer x = 4 e assim obteremos o valor de f ( 4 )

Passo 2

Vamos analisar inicialmente se a nossa função se enquadra no teorema fundamental do cálculo. Se fizermos a = 0 , F x = x cos ⁡ π x , temos:

∫ 0 x f ( t )   d t = x cos ⁡ π x

∫ a x f ( t )   d t = F ( x )

Logo, percebemos que a nossa função se enquadra do teorema. Portanto, basta derivarmos F ( x ) para obtermos f ( x ) .

Passo 3

Conforme vimos no passo anterior, temos:

f x = F ' ( x )

f x = x cos ⁡ π x '

f x = cos ⁡ π x - π x sen ⁡ π x

Passo 4

Agora, basta substituirmos o valor de x por 4. Desta forma, temos:

f 4 = cos ⁡ 4 π - 4 π sen ⁡ 4 π

f 4 = 1 - 4 π ⋅ 0 = 1

Resposta

f 4 = 1

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