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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 78

Suponha que f ( 4 ) se int_0^x f ( t ) d t = x cos (pi x) .

Passo 1

Uma equação envolvendo integral parece bastante complexo, não é? Bom, ela pode até parecer, mas no final, a sua resolução é bastante simples! Nós só precisamos relembrar um conceito, o qual é o teorema fundamental do cálculo parte 1. De uma forma bem resumida, se garantirmos a diferenciabilidade de uma função f , sabemos que, se F (x) = int_a^x f (t) d t , então:

F^' (x) = (d)/(d x) int_a^x f (t) d t = f ( x )

Consequentemente, a função f ( x ) é a derivada da função F ( x ) ! Depois, basta fazer x = 4 e assim obteremos o valor de f ( 4 )

Passo 2

Vamos analisar inicialmente se a nossa função se enquadra no teorema fundamental do cálculo. Se fizermos a = 0 , F (x) = x cos (pi x) , temos:

int_0^x f ( t ) d t = x cos (pi x)

int_a^x f ( t ) d t = F ( x )

Logo, percebemos que a nossa função se enquadra do teorema. Portanto, basta derivarmos F ( x ) para obtermos f ( x ) .

Passo 3

Conforme vimos no passo anterior, temos:

f (x) = F ' ( x )

f (x) = [x cos (pi x)] '

f (x) = cos (pi x) - pi x sen (pi x)

Passo 4

Agora, basta substituirmos o valor de x por 4. Desta forma, temos:

f (4) = cos (4 pi) - 4 pi sen (4 pi)

f (4) = 1 - 4 pi * 0 = 1

Resposta

f (4) = 1

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