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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 32

Calcule as integrais dos Exercícios 1-46

32-

int_0^((pi)/(4)) ((1)/(3))^(t g t) sec^2 t d t

Passo 1

Uma boa ideia é aplicar a substituição:

u = t g t

d u = (s i n t^' cos t - sin t cos t ')/(cos^2 t) = (1)/(cos^2 u) = sec^2 t d t

O que deixa a nossa integral ( que ainda será indefinida ao menos que nós achemos melhor trocar definitivamente o domínio)

int ((1)/(3))^u d u

Passo 2

Para encontrar a integral de a^u temos que fazer:

int a^u = int e^(( ln a ) u)

Fazendo a substituição:

v = u l n a

(d v)/(ln a) = d u

Logo:

(1)/(ln a) int e^v d v = (e^v)/(ln a) + c = (e^(u l n (a)))/(ln a) + c = (a^u)/(ln a) + c

Passo 3

Substituindo o resultado na integral temos:

int ((1)/(3))^u d u = (((1)/(3))^u)/(ln (1)/(3)) + c

Voltando ao domínio de t e aplicando o intervalo nós temos:

int_0^((pi)/(4)) ((1)/(3))^(t g t) sec^2 t d t = [(((1)/(3))^(t g t))/(ln 1 // 3) + c]_0^((pi)/(4))

(((1)/(3))^(t g (pi)/(4)))/(ln 1 // 3) + c - (((1)/(3))^(t g 0))/(ln (1)/(3)) - c = ((1)/(3) - 1)/(ln (1)/(3)) = (- (2)/(3))/(ln 1 - ln 3) = (2)/(3 l n 3)

Resposta

(2)/(3 ln 3) = 0.606826 ...

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