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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.2 - Ex. 18

  1. Escreva as fórmulas para f ∘ g e g ∘ f ;
  2. Determine o domínio de cada;
  3. Determine a imagem de cada.

f x = x 2

g x = 1 - x

Passo 1

A questão é bem direta ao ponto. Precisamos obter duas funções compostas, alterando apenas a ordem da composição, e, após isto, determinar o domínio e a imagem das funções compostas. Antes de começar qualquer coisa, vamos relembrar o que é o domínio e a imagem de uma função:

  • O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de t que satisfazem a nossa f ( t ) . Isto é, faz com que f ( t ) exista;
  • A imagem é o conjunto de todos os valores de f ( t ) , para cada valor de t .

Vamos então identificar quais são as funções que originaram na nossa função de estudo. Isto é, queremos identificar f ( t ) e h ( t ) tais que:

g t = f ∘ h t = f h t

Vamos então a nossa questão!

Passo 2

Vamos determinar as funções compostas inicialmente. Portanto, temos:

f g x = f 1 - x = 1 - x 2 = 1 - 2 x + x

E,

g f x = g x 2 = 1 - x

Passo 3

Vamos estudar o domínio das nossas funções. No caso da função f g x , temos uma raiz quadrada. Como a raiz quadrada aceita apenas números positivos, temos a nossa primeira restrição que é:

x ≥ 0

D f ∘ g = x ∈ R x ≥ 0 }

Passo 4

No caso da função g f x , temos uma função módulo. Portanto, o domínio dela são os reais.

D g ∘ f = { x ∈ R }

Passo 5

Para analisarmos a imagem de cada uma das funções é um pouco mais complicado. Temos de substituir valores do domínio e observar o que acontece com a nossa função. Assim temos os seguintes casos para a função f g x . Para x ≥ 0 , temos:

f g 0 = 1

f g 0.5 = 1.5 - 2 0.5 ≅ 0.086

f g 1 = 0

f g 4 = 1

f g 16 = 9

f g 64 = 49

Logo, os valores da nossa imagem variam no intervalo [ 0 , ∞ ) .  

Passo 6

A função g f x é a função - | x | translada para cima em uma unidade. Portanto, a imagem desta função é o intervalo ( - ∞ , 1 ] .

Resposta

  1. f g x = 1 - 2 x + x

    g f x = 1 - | x |

  2. D f ∘ g = x ∈ R x ≥ 0 }

    D g ∘ f = { x ∈ R }

  3. Imagem de f g x

[ 0 , ∞ )

Imagem de g f x

( - ∞ , 1 ]

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Sejam f ( x ) = x e g ( x ) = 1 - x .Escreva as fórmulas para f ∘ g e g ∘ f Determine o domínio de cada umaDetermine a imagem de cada uma
Sejam f ( x ) = 2 - x e g ( x ) = root(3)(x + 1) . Determine f @ g ( - 1 ) g @ f ( 2 ) f @ f ( x ) g @ g ( x )
Sejam f ( x ) = 2 - x 2 e g ( x ) = x + 2 .Escreva as fórmulas para f ∘ g e g ∘ f Determine o domínio de cada umaDetermine a imagem de cada uma
Sejam f ( x ) = (1)/(x) e g ( x ) = (1)/(sqrt(x + 2)) . Determine f @ g ( - 1 ) g @ f ( 2 ) f @ f ( x ) g @ g ( x )
Determine (a) o domínio e (b) a imagem de y = { - x - 2 , se - 2 ≤ x ≤ - 1 , x , se - 1x ≤ 1 e - x + 2 , se 1x ≤ 2 .