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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 13

Calcule as integrais indefinidas nos Exercícios 1-16 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à forma padrão

∫ x sen 2 ⁡ x 3 2 - 1 d x ,     u = x 3 2 - 1

Passo 1

Galera, ao usar substituição precisamos calcular o d u e substituir na integral. Vamos recair numa integral mais simples que normalmente vamos resolver pela tabela de primitivas.

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = x 3 2 - 1 → d u = x 3 2 - 1 ' d x = 3 2 x 1 2 d x = 3 2 x d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ x sen 2 ⁡ x 3 2 - 1 d x

O termo dentro do parênteses é o próprio u !

∫ x sen 2 ⁡ u d x

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = 3 2 x d x → 2 d u 3 = 2 3 3 2 x d x → 2 d u 3 = x d x

Agora podemos substituir na integral :D

∫ x sen 2 ⁡ u d x = ∫ sen 2 ⁡ u 2 d u 3 = 2 3 ∫ sen 2 ⁡ u d u

Passo 4

A integral acima ainda não está tabelada, mas se usarmos a seguinte propriedade trigonométrica:

sen 2 ⁡ u = 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 u )

Vamos ficar com

2 3 ∫ sen 2 ⁡ u d u = 2 3 ∫ 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 u ) d u = 1 3 ∫ 1 - cos ⁡ 2 u d u

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

1 3 ∫ 1 - cos ⁡ 2 u d u = 1 3 u - sen ⁡ 2 u 2 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ x sen 2 ⁡ x 3 2 - 1 d x = 1 3 x 3 2 - 1 - sen ⁡ x 3 2 - 1 2 + C

Resposta

1 3 x 3 2 - 1 - sen ⁡ x 3 2 - 1 2 + C

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