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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 43

Calcule a integral int 2 (c o s x)^((1)/(2)) s e n x d x

Passo 1

Perceba que não temos uma primitiva de cara para essa função. Então, vamos ter que usar alguma forma pra sair dessa. A ideia é usar substituição pra poder ficar com uma variável elevada a uma potência que é algo que a gente já sabe resolver, blz?

Então ,chame

u = cos x ⟹ d u = - s e n x d x ⟹ - d u = s e n x d x

Passo 2

Substituindo,

int 2 (c o s x)^((1)/(2)) s e n x d x = int 2 (u)^((1)/(2)) s e n x d x = int 2 u^((1)/(2)) - d u

Passo 3

Retirando as constantes da integral,

int 2 u^((1)/(2)) - d u = - 2 int u^((1)/(2)) d u

Passo 4

Resolvendo a integral,

- 2 int u^((1)/(2)) d u = - 2 * (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) = - (4)/(3) u^((3)/(2)) + C

Passo 5

Retornando a variável inicial,

- 2 * (u^((3)/(2)))/((3)/(2)) + C = - (4)/(3) u^((3)/(2)) + C = - (4)/(3) cos^((3)/(2)) x + C

Resposta

int 2 (c o s x)^((1)/(2)) s e n x d x = - (4)/(3) cos^((3)/(2)) x + C

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