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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 4c

Calcule.

int (1)/(2 x + 3) d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção. E chamaremos u de 2 x + 3

2 x + 3 = u

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( 2 x + 3 ) ' = ( u ) '

2 d x = d u

Isolando d x , pois é esse fator que participa da integral! Está em dúvida, da uma olhadinha:

d x = (d u)/(2)

Passo 2

Anotando aquilo que já obtemos:

2 x + 3 = u

Não se esqueça do d x , é um passo importante para resolvermos:

d x = (d u)/(2)

Agora temos tudo em função de u , nossa primeira missão foi concluída, Substituiremos:

int (1)/(2 x + 3) d x = int (1)/(u) (d u)/(2)

Lembrando que no caso de uma constante (na nossa integral a constante é o (1)/(2) ) podemos ‘’tirar’’ da integral:

int (1)/(u) (d u)/(2) = (1)/(2) int (d u)/(u)

Passo 3

A integral acima ( int (d u)/(u) ) é imediata, lembra? Não, então toma essa colher de chá ( int (d u)/(u) = ln | u | + c ) :

int (1)/(u) (d u)/(2) = (1)/(2) int (d u)/(u) = (1)/(2) ln | u | + c

A nossa resposta não deve ser em função de u hein, mas sim em função de x ( 2 x + 3 = u ) Retornando e obteremos a resposta:

int (1)/(2 x + 3) d x = (1)/(2) ln | 2 x + 3 | + c

Resposta

int (1)/(2 x + 3) d x = (1)/(2) ln | 2 x + 3 | + c

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