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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 64

Calcule a integral int (6 d r)/(sqrt(4 - (r - 1)^2))

Passo 1

Vamos reescrever nossa integral e colocar a constante pra fora primeiro, tá?

int (6 d r)/(sqrt(4 - (r - 1)^2)) = int (6 d r)/(sqrt(2^2 - (r - 1)^2))

Passo 2

Perceba que não temos uma primitiva de cara para essa função. Então, vamos ter que usar alguma forma pra sair dessa. A ideia é usar substituição pra poder ficar com uma variável elevada a uma potência que é algo que a gente já sabe resolver, blz?

Então ,chame

u = r - 1 => d u = d r

Passo 3

Substituindo a mudança de variável,

int (6 d r)/(sqrt(2^2 - (r - 1)^2)) = int (6 d r)/(sqrt(2^2 - u^2)) = 6 int (1)/(sqrt(2^2 - u^2)) d u

Passo 4

Resolvendo a integral,

6 int (1)/(sqrt(2^2 - u^2)) d u = 6 a r c s e n ((4)/(u))

Passo 5

Retornando a variável inicial,

6 a r c s e n ((4)/(u)) = 6 a r c s e n ( (2)/(r - 1) )

Resposta

int (6 d r)/(sqrt(4 - (r - 1)^2)) = 6 a r c s e n ( (2)/(r - 1) )

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