Calcule a integral :

∫ d y y 2 - 2 y + 2  

Passo 1

Fala ai!!

Galera, o primeiro passo nesse caso é reescrever o denominador da integral de modo a gente veja qual o método mais adequado para resolver essa integração:

Nesse caso, vamos utilizar o método de completar quadrados:

Vamos somar e subtrair - 1 2 na expressão y 2 - 2 y + 2

y 2 - 2 y + 2 + - 1 2 - - 1 2

Comparando com o desenvolvimento do quadrado da soma x 2 + 2 a x + a 2 temos:

y - 1 2 + 2 - 1 2 = y - 1 2 + 1

Agora, podemos substituir na integral:

∫ d y y - 1 2 + 1  

Passo 2

Show! Agora, o que devemos fazer para resolver a integral acima? Nesse caso, vamos utilizar mudança de variável :

Vamos chamar u = y - 1 . Beleza?

∫ d u u 2 + 1  

= a r c tan ⁡ u

= a r c tan ⁡ ( y - 1 ) + C

Resposta

a r c tan ⁡ ( y - 1 ) + C

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