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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 83

Calcule a integral :

int (d y)/(y^2 - 2 y + 2)

Passo 1

Fala ai!!

Galera, o primeiro passo nesse caso é reescrever o denominador da integral de modo a gente veja qual o método mais adequado para resolver essa integração:

Nesse caso, vamos utilizar o método de completar quadrados:

Vamos somar e subtrair (- 1)^2 na expressão y^2 - 2 y + 2

y^2 - 2 y + 2 + (- 1)^2 - (- 1)^2

Comparando com o desenvolvimento do quadrado da soma x^2 + 2 a x + a^2 temos:

(y - 1)^2 + 2 - (1)^2 = (y - 1)^2 + 1

Agora, podemos substituir na integral:

int (d y)/((y - 1)^2 + 1)

Passo 2

Show! Agora, o que devemos fazer para resolver a integral acima? Nesse caso, vamos utilizar mudança de variável :

Vamos chamar u = y - 1 . Beleza?

int (d u)/(u^2 + 1)

= a r c tan u

= a r c tan ( y - 1 ) + C

Resposta

a r c tan ( y - 1 ) + C

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