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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.1 - Ex. 24

Calcule a integral

int_0^(sqrt(ln pi)) 2 x e^(x^2) cos (e^(x^2)) d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int_0^(sqrt(ln pi)) 2 x e^(x^2) cos (e^(x^2)) d x

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

int 2 x e^(x^2) cos (e^(x^2)) d x

Façamos uma mudança de variável. Se chamarmos u = e^(x^2) , consequentemente, teremos d u = 2 x e^(x^2) d x . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

int 2 x e^(x^2) cos (e^(x^2)) d x = int cos u d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Resolvendo a nossa integral, temos:

int cos u d u = sen u + k

Voltando para a variável inicial, temos:

sen u + k = sen e^(x^2) + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

int_0^(sqrt(ln pi)) 2 x e^(x^2) cos (e^(x^2)) d x = ([sen e^(x^2)]|_0^(sqrt(ln pi))

int_0^(sqrt(ln pi)) 2 x e^(x^2) cos (e^(x^2)) d x = sen e^(ln pi) - sen e^0

int_0^(sqrt(ln pi)) 2 x e^(x^2) cos (e^(x^2)) d x = sen pi - sen 0

int_0^(sqrt(ln pi)) 2 x e^(x^2) cos (e^(x^2)) d x = 0 - sen 1 = sen 1

Resposta

int_0^(sqrt(ln pi)) 2 x e^(x^2) cos (e^(x^2)) d x = sen 1

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