Calcule a integral

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

Façamos uma mudança de variável. Se chamarmos , consequentemente, teremos . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

Eita, ainda temos na nossa função, mesmo após fazermos uma mudança de variáveis. Precisamos transformá-lo em alguma função de . Para isto, vamos utilizar a mudança de variáveis que fizemos. Se , então . Portanto, temos:

Agora surge um questionamento. Como vamos resolver esta integral? Se ao invés de um produto tivéssemos uma soma, isto é:

Ai sim a gente conseguiria integrar facilmente! Mas, infelizmente, o que fizemos está errado. Mas espera aí. Se ao invés de ter colocando 1 no numerador dos dois termos, colocássemos coeficientes genéricos? Isto é:

Será se agora é possível? Será se existem A e B que satisfazem essa relação? Para descobrir, temos que desenvolver o segundo membro da equação. Façamos isto então!

O numerador do primeiro membro tem que ser igual ao do segundo. Sendo assim, temos um sistema de equação com 2 equações e 2 incógnitas para resolver.

Resolvendo este sistema, obtemos e . Se substituirmos estes valores naquela relação lá em cima, vamos poder mudar o produto em uma soma, e assim resolver a integral! Vejamos então essa mudança.

Agora sim chegamos em duas integrais que conseguimos calcular facilmente!

OBS: O método desenvolvido nesta questão é chamado frações parciais. Ele será estudado em um capítulo mais adiante

Agora, vamos finalmente resolver a nossa integral.

Voltando para a variável inicial, temos:

Portanto, a solução do nosso problema é:

OBS: não podemos esquecer da constante de integração , pois estamos tratando de uma integral indefinida!