Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 3

Calcule a integral usando integração por partes

int t g^(- 1) ( 3 x ) d x

Passo 1

Nosso objetivo é simplificar ao máximo o trabalho na hora de fazer as contas. Dessa maneira, quando formos utilizar a integração por partes devemos pensar qual membro da integração é mais vantajoso derivar, pois lembre que derivar é mais simples do que integrar, isso significa que o membro mais complexo deve ser o que colocaremos como u .

Sendo assim, utilizando integração por partes suponha,

u = t g^(- 1) (3 x) => d u = (1)/((3 x)^2 + 1) . ( 3 ) d x => d u = (3)/(9 x^2 + 1) d x ,

d v = 1 => v = x

Sabemos que,

int u d v = u v - int v d u

Sendo assim,

=> int t g^(- 1) ( 3 x ) d x

= t g^(- 1) (3 x) x - int x (3)/(9 x^2 + 1) d x

= t g^(- 1) (3 x) x - int (3 x)/(9 x^2 + 1) d x

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar o C , porém, faremos isso ao final.

Passo 2

Utilizando o método de substituição suponha

u = 9 x^2 + 1 => d u = 18 x d x => d x = (1)/(18 x) d u

Sendo assim,

int (3 x)/(9 x^2 + 1) d x = int (3 x)/(u) (1)/(18 x) d x = int (1)/(u) (1)/(6) d x

Utilizando a propriedade de integrais de retirada da constante teremos

int (1)/(u) (1)/(6) d x = (1)/(6) int (1)/(u) d x = (1)/(6) l n | u |

Como estamos não estamos com a integral definida, ou seja, desejamos apenas encontrar a primitiva então vamos voltar a variável x . Isto é,

int (3 x)/(9 x^2 + 1) d x = (1)/(6) l n | 9 x^2 + 1 |

Portanto,

int t g^(- 1) ( 3 x ) d x = t g^(- 1) (3 x) x - (1)/(6) ln |9 x^2 + 1| + C

Resposta

int t g^(- 1) ( 3 x ) d x = t g^(- 1) (3 x) x - (1)/(6) ln |9 x^2 + 1| + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ x 3 ln ⁡ 4 xd x
Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ ln ⁡ x + 1 + x 2 d x
Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ x ln ⁡ 3 x d x
Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ arccos ⁡ x d x
Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes. ∫ x - 1 sec 2 ⁡ x d x