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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 85

Calcule a integral

int (z + 1)/(z^2 * (z^2 + 4)) d z

Passo 1

Para resolver essa integral indefinida precisaremos aplicar o método de frações parciais e usar a linearidade da integral que nos diz que a integral da soma é igual a soma das integrais.

Passo 2

Podemos reescrever (z + 1)/(z^2 * (z^2 + 4)) da seguinte forma

(z + 1)/(z^2 * (z^2 + 4)) = (A)/(z) + (B)/(z^2) + (C z + D)/(z^2 + 4)

Agora, precisamos descobrir quem são as constantes A , B , C e D , para vamos tirar o mmc do lado direito e comparar com o lado esquerdo. Assim,

(z + 1)/(z^2 * (z^2 + 4)) = (A * (z * (z^2 + 4)) + B * (z^2 + 4) + z^2 * ( C z + D ))/(z^2 * ( z^2 + 4 ))

(z + 1)/(z^2 * (z^2 + 4)) = (A * (z^3 + 4 z) + B * (z^2 + 4) + z^2 * ( C z + D ))/(z^2 * ( z^2 + 4 ))

(z + 1)/(z^2 * (z^2 + 4)) = (z^3 * (A + C) + z^2 * (B + D) + z * (4 A) + 4 B)/(z^2 * ( z^2 + 4 ))

Comparando os numeradores podemos escrever o seguinte sistema

{[[,A,+,C,=,0],[B,+,D,=,0],[4,A,=,1],[4,B,=,1]])

A = (1)/(4) e B = (1)/(4)

Também é possível deduzir do sistema acima que C = - A e D = - B , então

C = - (1)/(4) e D = - (1)/(4)

Dessa forma, podemos reescrever nossa integral como sendo

int (z + 1)/(z^2 * (z^2 + 4)) d z =

int (1)/(4 z) + (1)/(4 z^2) - ((1)/(4)) * (z + 1)/(z^2 + 4) d z

Passo 3

Podemos usar a propriedade das integrais e separar em 3 integrais distintas e juntar os resultados no final. Então,

int (1)/(4 z) d z + int (1)/(4 z^2) d z - int ((1)/(4)) * (z + 1)/(z^2 + 4) d z =

(1)/(4) * int (1)/(z) d z + (1)/(4) * int (1)/(z^2) d z - (1)/(4) * int (z + 1)/(z^2 + 4) d z =

(1)/(4) * int (1)/(z) d z + (1)/(4) * int (1)/(z^2) d z - (1)/(4) * int (z)/(z^2 + 4) d z - (1)/(4) * int (1)/(z^2 + 4) d z =

Passo 4

Calculando cada uma das integrais separadamente obteremos

(i) (1)/(4) * int (1)/(z) d z = (ln |z|)/(4) + C

(i i) (1)/(4) * int (1)/(z^2) d z = ((1)/(4)) * (z^(- 2 + 1))/((- 2 + 1)) = - (1)/(4 z) + C

(i i i) - (1)/(4) * int (1)/(z^2 + 4) d z = - (1)/(4) * arctan ((z)/(2)) + C

(i v) - (1)/(4) * int (Z)/(z^2 + 4) d z =

F a z e n d o u = z^2 + 4 -> d u = 2 z d z -> z d z = (d u)/(2)

-> - (1)/(4) * int ((1)/(2)) * (1)/(u) d u = (- (1)/(8)) * ln |u| + C = (- (1)/(8)) * ln |z^2 + 4| + C

Juntando todos os resultados e colocando uma Constante que é a soma de todas as constantes individuais, teremos

int (z + 1)/(z^2 * (z^2 + 4)) d z = (ln |z|)/(4) - (1)/(4 z) - (1)/(4) * arctan ((z)/(2)) - (1)/(8) * ln |z^2 + 4| + C

Resposta

(ln |z|)/(4) - (1)/(4 z) - (1)/(4) * arctan ((z)/(2)) - (1)/(8) * ln |z^2 + 4| + C

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