Calcule a integral

∫ z + 1 z 2 ⋅ z 2 + 4 d z  

Passo 1

Para resolver essa integral indefinida precisaremos aplicar o método de frações parciais e usar a linearidade da integral que nos diz que a integral da soma é igual a soma das integrais.

Passo 2

Podemos reescrever z + 1 z 2 ⋅ z 2 + 4 da seguinte forma

z + 1 z 2 ⋅ z 2 + 4 = A z + B z 2 + C z + D z 2 + 4  

Agora, precisamos descobrir quem são as constantes A , B , C   e   D , para vamos tirar o mmc do lado direito e comparar com o lado esquerdo. Assim,

z + 1 z 2 ⋅ z 2 + 4 = A ⋅ z ⋅ z 2 + 4 + B ⋅ z 2 + 4 + z 2 ⋅ ( C z + D ) z 2 ⋅ ( z 2 + 4 )

z + 1 z 2 ⋅ z 2 + 4 = A ⋅ z 3 + 4 z + B ⋅ z 2 + 4 + z 2 ⋅ ( C z + D ) z 2 ⋅ ( z 2 + 4 )

z + 1 z 2 ⋅ z 2 + 4 = z 3 ⋅ A + C + z 2 ⋅ B + D + z ⋅ 4 A + 4 B z 2 ⋅ ( z 2 + 4 )

Comparando os numeradores podemos escrever o seguinte sistema

  A + C = 0 B + D = 0 4 A = 1 4 B = 1

A = 1 4   e   B = 1 4

Também é possível deduzir do sistema acima que C = - A   e   D = - B , então

C = - 1 4   e   D = - 1 4

Dessa forma, podemos reescrever nossa integral como sendo

∫ z + 1 z 2 ⋅ z 2 + 4 d z =

∫ 1 4 z + 1 4 z 2 - 1 4 ⋅ z + 1 z 2 + 4   d z

Passo 3

Podemos usar a propriedade das integrais e separar em 3 integrais distintas e juntar os resultados no final. Então,

∫ 1 4 z d z + ∫ 1 4 z 2 d z   - ∫ 1 4 ⋅ z + 1 z 2 + 4   d z =

1 4 ⋅ ∫ 1 z d z + 1 4 ⋅ ∫ 1 z 2 d z   - 1 4 ⋅ ∫ z + 1 z 2 + 4   d z =

1 4 ⋅ ∫ 1 z d z + 1 4 ⋅ ∫ 1 z 2 d z   - 1 4 ⋅ ∫ z z 2 + 4   d z - 1 4 ⋅ ∫ 1 z 2 + 4 d z     =

Passo 4

Calculando cada uma das integrais separadamente obteremos

i             1 4 ⋅ ∫ 1 z   d z = ln ⁡ z 4 + C

i i           1 4 ⋅ ∫ 1 z 2   d z = 1 4 ⋅ z - 2 + 1 - 2 + 1 =   - 1 4 z + C

i i i       - 1 4 ⋅ ∫ 1 z 2 + 4 d z =   - 1 4 ⋅ arctan ⁡ z 2 + C  

i v       - 1 4 ⋅ ∫ Z z 2 + 4 d z   =

F a z e n d o   u = z 2 + 4 → d u = 2 z   d z → z   d z = d u 2

→   - 1 4 ⋅ ∫ 1 2 ⋅ 1 u d u   = - 1 8 ⋅ ln ⁡ u + C = - 1 8 ⋅ ln ⁡ z 2 + 4 + C

Juntando todos os resultados e colocando uma Constante que é a soma de todas as constantes individuais, teremos

∫ z + 1 z 2 ⋅ z 2 + 4 d z =   ln ⁡ z 4   - 1 4 z - 1 4 ⋅ arctan ⁡ z 2 - 1 8 ⋅ ln ⁡ z 2 + 4 + C

Resposta

ln ⁡ z 4   - 1 4 z - 1 4 ⋅ arctan ⁡ z 2 - 1 8 ⋅ ln ⁡ z 2 + 4 + C  

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