Calcule a integral.

∫ 0 4 x - 1 x ² - 4 x - 5 d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar simplificar a expressão, vamos achar as raízes do denominador, assim:

∫ x - 1 x ² - 4 x - 5 d x = ∫ x - 1 x + 1 x - 5 d x

Poxa, não deu em nada, não dá para simplificar nada com o numerador, então vamos usar Frações Parciais. Como temos duas raízes distintas, a expressão fica assim:

x - 1 x + 1 x - 5 = A x + 1 + B x - 5

Passo 2

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x + 1 x - 5 :

x - 1 = A x - 5 + B x + 1

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

x - 1 = A x - 5 + B x + 1 = A x - 5 A + B x + B = x A + B + - 5 A + B

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 1 - 5 A + B = - 1

Isolando B na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

B = - A + 1 - 5 A + - A + 1 = - 1 → A = 1 3

B = 2 3

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ x - 1 x ² - 4 x - 5 d x = ∫ 1 3 x + 1 + 2 3 x - 5 d x = ∫ 1 3 x + 1 + 2 3 x - 5 d x = ∫ 1 3 x + 1 d x + ∫ 2 3 x - 5 d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador e uma constante no numerador nas duas integrais, vamos resolver as duas separadamente:

Podemos então usar a mudança de variável para a primeira:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 1 3 x + 1 d x = ∫ 1 3 u d u

Para a segunda temos:

v = x - 5

Derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Substituindo temos:

∫ 2 3 x - 5 d x = ∫ 2 3 v d v

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 4

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 3 x + 1 d x + ∫ 2 3 x - 5 d x = ∫ 1 3 u d u + ∫ 2 3 v d v = 1 3 ∫ 1 u d u + 2 3 ∫ 1 v d v = 1 3 ln ⁡ u + 2 3 ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = x + 1 e v = x - 5 :

∫ 1 3 x + 1 d x + ∫ 2 3 x - 5 d x = 1 3 ln ⁡ x + 1 + 2 3 ln ⁡ x - 5 + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 0 4 1 3 x + 1 d x + ∫ 0 4 2 3 x - 5 d x = 1 3 ln ⁡ x + 1 0 4 + 2 3 ln ⁡ x - 5 0 4 = ln ⁡ 4 + 1 - ln ⁡ 0 + 1 + ln ⁡ 4 - 5 - ln ⁡ 0 - 5 = ln ⁡ 5 3 - 2 ln ⁡ 5 3 = - 1 ln ⁡ 5 3

Resposta

∫ 0 4 x - 1 x ² - 4 x - 5 d x = - 1 ln ⁡ 5 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados