Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.5 - Ex. 10

Calcule a integral.

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar simplificar a expressão, vamos achar as raízes do denominador, assim:

Poxa, não deu em nada, não dá para simplificar nada com o numerador, então vamos usar Frações Parciais. Como temos duas raízes distintas, a expressão fica assim:

Passo 2

Vamos achar os valores de e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

Isolando na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

Pronto, achamos os valores de e , vamos agora substituir de volta na integral:

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um no denominador e uma constante no numerador nas duas integrais, vamos resolver as duas separadamente:

Podemos então usar a mudança de variável para a primeira:

Vamos agora achar diferencial de , derivando:

Vamos agora fazer a substituição:

Para a segunda temos:

Derivando:

Substituindo temos:

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 4

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Agora é só aplicar:

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi e :

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo: