Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.5 - Ex. 10
Calcule a integral.
Passo 1
Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.
Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar simplificar a expressão, vamos achar as raízes do denominador, assim:
Poxa, não deu em nada, não dá para simplificar nada com o numerador, então vamos usar Frações Parciais. Como temos duas raízes distintas, a expressão fica assim:
Passo 2
Vamos achar os valores de e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:
Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Isolando na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:
Pronto, achamos os valores de e , vamos agora substituir de volta na integral:
Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.
Passo 3
Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um no denominador e uma constante no numerador nas duas integrais, vamos resolver as duas separadamente:
Podemos então usar a mudança de variável para a primeira:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Vamos agora fazer a substituição:
Para a segunda temos:
Derivando:
Substituindo temos:
Agora fica simples de resolver, vamos lá.
Passo 4
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi e :
Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos lá: