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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.Exercícios Práticos - Ex. 4

Resolva a equação diferencial.

2 x^2 d x - 3 sqrt(y) * c o s s e c (x) d y = 0

Passo 1

Vamos, primeiramente, reescrever a equação diferencial de forma a separar o que tem x de um lado e o que tem y do outro, dessa forma o nosso problema vai se resumir em resolver duas integrais e isolar y = f ( x ) que é o que queremos encontrar. Assim, para esse caso basta fazer

2 x^2 d x - 3 sqrt(y) * c o s s e c (x) d y = 0

2 x^2 d x = 3 sqrt(y) * c o s s e c (x) d y

(2 x^2 d x)/(c o s s e c ( x )) = 3 sqrt(y) d y

2 x^2 * s e n ( x ) d x = 3 sqrt(y) d y

Passo 2

Integrando ambos os lados vamos obter

int 2 x^2 * s e n (x) d x = int 3 sqrt(y) d y

(i) : 3 int y^((1)/(2)) d y = 3 * (y^((1)/(2) + 1))/(((1)/(2) + 1)) + C 1 = 2 * y^((3)/(2)) + C 1

(i i) : int 2 x^2 * s e n (x) d x = 2 * int x^2 * s e n (x) d x

Para resolvermos ( i i ) precisaremos resolver a integral por partes que nos diz o seguinte

int u d v = u v - int v d u

Fazendo, então

u = x^2 -> u^' = 2 x

d v = s e n (x) -> v = - cos ( x )

-> 2 * int x^2 * s e n (x) d x = 2 * [- x^2 * cos (x) + int 2 x * cos (x) d x] =

-> 2 * [- x^2 * cos (x) + 2 x * s e n (x) + 2 c o s (x)] =

-> 4 x * s e n (x) + cos (x) * [4 - 2 x^2] + C 2

Juntando ambos os resultados e lembrando que C = C 2 - C 1

2 * y^((3)/(2)) + C 1 = 4 x * s e n (x) + cos (x) * [4 - 2 x^2] + C 2

2 * y^((3)/(2)) = 4 x * s e n (x) + cos (x) * [4 - 2 x^2] + C

y^((3)/(2)) = 2 x * s e n (x) + cos (x) * [2 - x^2] + C

Elevando ambos os lados a (2)/(3) obteremos

y = [2 x * s e n (x) + cos (x) * [2 - x^2] + C]^((2)/(3))

Resposta

y = [2 x * s e n (x) + cos (x) * [2 - x^2] + C]^((2)/(3))

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