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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 67

Calcule a integral abaixo:

int (1)/(2 x - 1 sqrt((2 x - 1)^(2 ) - 4))

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int (1)/(2 x - 1 sqrt((2 x - 1)^(2 ) - 4)) u = 2 x - 1 d u = 2 d x => (d u)/(2) = d x

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int (1)/(u sqrt(u^2 - 4)) (d u)/(2) = (1)/(2) int (1)/(u sqrt(u^2 - 4)) d u

Passo 3

Para efetuar esta integração pode não ser tão evidente a propriedade, vamos relembrar então que a derivada primitiva da s e c^(- 1) é dada por:

(d [s e c^(- 1)])/(d x) = (1)/(u sqrt(u^2 - 1)) (d u)/(d x)

E de forma mais genérica, temos então que:

int (1)/(x sqrt(x^2 - a^2)) = (1)/(a) arcsec ((x)/(a)) + C

Possuindo essa visão podemos aplicar outra substituição ao invés de usar a “fórmula” a cima. Logo:

v = a r s e c ((u)/(2)) d v = (2)/(u sqrt(u^2 - 4)) d u

Passo 4

Aplicando a substituição de v:

(1)/(2) int (1)/(2) d v = (v)/(4) + C

Passo 5

Substituindo v pela função que atribuímos, temos:

(1)/(4) s e c^(- 1) ((u)/(2)) + C

Passo 6

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

(1)/(4) sec^(- 1) ((2 x - 1)/(2)) + C

Resposta

(1)/(4) sec^(- 1) ((2 x - 1)/(2)) + C

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