Enunciado

Calcule as integrais fazendo uma substituição apropriada.

∫ 0 1 sen 2 ⁡ π x cos ⁡ π x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ sen 2 ⁡ π x cos ⁡ π x d x

Passo 2

Para resolver essa integral vamos usar a Regra da Substituição:

u = sen ⁡ π x

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = cos ⁡ π x π d x → d u π = cos ⁡ π x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ sen 2 ⁡ π x cos ⁡ π x d x = ∫ u 2   π d u = 1 π ∫ u 2 d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C

Aplicando:

1 π ∫ u 2 d u = 1 π ⋅ u 2 + 1 2 + 1 + C = 1 π ⋅ u 3 3 + C = u 3 3 π + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ sen 2 ⁡ π x cos ⁡ π x d x = u 3 3 π + C = sen 3 ⁡ π x 3 π + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Agora vamos voltar a integral:

∫ 0 1 sen 2 ⁡ π x cos ⁡ π x d x = sen 3 ⁡ π x 3 π 0 1 = sen 3 ⁡ π ⋅ 1 3 π - sen 3 ⁡ π ⋅ 0 3 π =

= sen 3 ⁡ π 3 π - sen 3 ⁡ 0 3 π = 0 3 3 π - 0 3 π = 0

Resposta

∫ 0 1 sen 2 ⁡ π x cos ⁡ π x d x = 0

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