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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 3

Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

int_0^1 (d x)/(sqrt(x))

Passo 1

Observe que para x = 0 a integral não é definida, assim é uma integral imprópria. Temos então que:

int_0^1 (d x)/(sqrt(x)) = underset(b -> 0)(lim) int_b^1 (d x)/(sqrt(x)) = underset(b -> 0)(lim) int_b^1 x^(- (1)/(2)) d x = underset(b -> 0)(lim) (x^((1)/(2)))/((1)/(2)) (​|_b^1 = 2 sqrt(x) (​|_b^1 = underset(b -> 0)(lim) 2 ( sqrt(1) - sqrt(b) )

Lembre-se que a integração de um polinômio é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Lembre-se também que de forma genérica a aplicação dos limites de integração é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 2

Aplicando o limite, temos:

underset(b -> 0)(lim) 2 ( sqrt(1) - sqrt(b) ) = 2

Resposta

2

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