Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 36
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Passo 1
Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?
Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral.
Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.
Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.
Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.
Passo 2
Então, para a nossa respectiva integral
O integrando não está definido para um valor entre os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:
Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir.
Passo 3
Com isso, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.
Dessa forma, resolvendo o segundo limite (a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério, beleza?) de forma direta, teremos:
Passo 4
Substituindo o intervalo de integração:
Logo:
Como um dos limites resultou em um valor infinito, não é necessário calcular o outro limite, já que isso faz com que a integral seja divergente.
Portanto, a afirmação é falsa, visto que o resultado da integral não é zero.
Resposta
Falso