Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 24

Calcule as integrais que convirjam.

int_0^(pi // 4) (sec^2 x)/(1 - t g x) d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_0^(pi // 4) (sec^2 x)/(1 - t g x) d x

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_0^(pi // 4) (sec^2 x)/(1 - t g x) d x = underset(a -> ( pi // 4 )^-)(lim) int_0^a (sec^2 x)/(1 - t g x) d x

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o limite através do método da substituição simples com:

u = 1 - t g x , t a l q u e d u = - sec^2 x d x

Teremos:

Quando x = a -> u = 1 - t g a

Quando x = 0 -> u = 1

Logo:

underset(a -> ( pi // 4 )^-)(lim) int_0^a (sec^2 x)/(1 - t g x) d x = underset(a -> ( pi // 4 )^-)(lim) int_1^(1 - t g a) (1)/(u) (- d u)

E resolvendo a integral:

underset(a -> ( pi // 4 )^-)(lim) int_1^(1 - t g a) (1)/(u) (- d u) = - underset(a -> ( pi // 4 )^-)(lim) [ln u] | [[1,-,t,g,a],[1]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> ( pi // 4 )^-)(lim) int_0^a (sec^2 x)/(1 - t g x) d x = - underset(a -> ( pi // 4 )^-)(lim) [ln (1 - t g a) - ln (1)]

Logo:

underset(a -> ( pi // 4 )^-)(lim) int_0^a (sec^2 x)/(1 - t g x) d x = - (- oo - 0) = + oo

Como o limite resultou em um valor infinito, a integral é divergente.

Resposta

int_0^(pi // 4) (sec^2 x)/(1 - t g x) d x = + oo

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