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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 33

Calcule a integral definida:

int_0^4 (d x)/(1 + sqrt(x))

Passo 1

Pessoal, podemos resolver essa integral definida de duas formas, resolvendo a indefinida e no final a definida, ou ir resolvendo no meio do caminho trocando os limites de integração. Vamos resolver a indefinida e depois a definida, ok?

Para resolver essa integral, vamos começar fazendo a substituição sqrt(x) = u , então (1)/(2 sqrt(x)) d x = d u -> d x = 2 sqrt(x) d u = 2 u d u .

int (d x)/(1 + sqrt(x)) = int (2 u d u)/(1 + u) = 2 int (u d u)/(1 + u) = 2 int (( 1 + u - 1 ))/(1 + u) d u

Acima eu somei 1 e tirei 1, isso facilita a simplificação.

2 int (( 1 + u - 1 ))/(1 + u) d u = 2 int (1 - (1)/(u + 1)) d u

Passo 2

Lembrando que int (1)/(x +- a) d x = ln |x +- a| + C , temos:

2 int (1 - (1)/(u + 1)) = 2 u - 2 ln |u + 1| + C

Passo 3

Vamos agora voltar na variável x para resolver a integral definida.

int (d x)/(1 + sqrt(x)) = 2 u - 2 ln |u + 1| + C = 2 sqrt(x) - 2 ln (sqrt(x) + 1) + C

Passo 4

Agora vamos resolver a definida. Sabemos da integral definida que:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

int_0^4 (d x)/(1 + sqrt(x)) = ((2 sqrt(x) - 2 ln (sqrt(x) + 1))|_0^4 = 2 sqrt(4) - 2 ln (sqrt(4) + 1) - (2 sqrt(0) - 2 ln (sqrt(0) + 1))

int_0^4 (d x)/(1 + sqrt(x)) = 4 - 2 ln (3)

Resposta

int_0^4 (d x)/(1 + sqrt(x)) = 4 - 2 ln (3)

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5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.13. ∫ - 2 - 1 x x 2 + 2 3 d x
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.2. d) ∫ 0 1 x 3 x 2 + 3 d x ; u = x 2 + 3
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.2. b) ∫ - π 3 2 π 3 s e nx 2 + cos ⁡ x d x ; u = 2 + cos ⁡ x
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.8. ∫ 1 2 4 - 3 x 8 d x
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.11. ∫ 0 π 2 4 s e nx 2 d x