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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.7 - Ex. 30

Calcule a integral indefinida:

int (5 d x)/(6 + 4 sec x)

Passo 1

Pessoal, para resolver essa integral, vamos lembrar o seguinte: Se um integrando for uma função racional de sen x e cos x , ele poderá ser reduzido a uma função racional de z pela substituição z = tan ((x)/(2)) e temos um teorema na seção que diz, que, nesse caso,

sen x = (2 z)/(1 + z^2) cos x = (1 - z^2)/(1 + z^2) tan x = (2 z)/(1 - z^2) d x = (2 d z)/(1 + z^2)

Vamos aplicar o teorema acima com as fórmulas na nossa questão. Fazendo a substituição z = tan ((x)/(2)) e desenvolvendo a expressão, temos:

int (5 d x)/(6 + 4 sec x) = int (5 d x)/(6 + 4 (1)/(cos x)) = int (5 cos x d x)/(6 cos x + 4) = int (5 ((1 - z^2)/(1 + z^2)) (2 d z)/(1 + z^2))/(6 ((1 - z^2)/(1 + z^2)) + 4)

= int (10 ((1 - z^2)/(1 + z^2)))/(6 (1 - z^2) + 4 (1 + z^2)) d z = int (10 ((1 - z^2)/(1 + z^2)))/(6 - 6 z^2 + 4 + 4 z^2) d z = 10 int (1 - z^2)/(( 1 + z^2 ) ( - 2 z^2 + 10 )) d z

= 10 int (1 - z^2)/(- 2 ( 1 + z^2 ) ( z^2 - 5 )) d z = - 5 int (1 - z^2)/((1 + z^2) (z^2 - 5)) d z = 5 int (z^2 - 1)/(( z^2 + 1 ) ( z^2 - 5 )) d z

Passo 2

Para resolver a integral acima, devemos decompor o integrando em frações parciais da seguinte forma:

(z^2 - 1)/(( z^2 + 1 ) ( z^2 - 5 )) = (z^2 - 1)/((z^2 + 1) (z - sqrt(5)) (z + sqrt(5))) = (A)/(z - sqrt(5)) + (B)/(z + sqrt(5)) + (C z + D)/(z^2 + 1)

Tirando o MMC e igualando o numerador, ficamos com:

z^2 - 1 = A (z + sqrt(5)) (z^2 + 1) + B (z - sqrt(5)) (z^2 + 1) + (C + D) ( z^2 - 5 )

Para z = - sqrt(5) , temos:

5 - 1 = B (- sqrt(5) - sqrt(5)) (5 + 1) -> 4 = - 6 * 2 sqrt(5) B -> B = - (4)/(12 sqrt(5)) = - (1)/(3 sqrt(5))

Para z = sqrt(5) , temos:

5 - 1 = A (sqrt(5) + sqrt(5)) (5 + 1) -> 4 = 6 * 2 sqrt(5) A -> A = (1)/(3 sqrt(5))

Agora substituímos para achar C e D. Fazendo z = 0 , temos:

0 - 1 = (1)/(3 sqrt(5)) (0 + sqrt(5)) (0 + 1) + - (1)/(3 sqrt(5)) (0 - sqrt(5)) (0 + 1) + (0 + D) ( 0 - 5 )

- 1 = (sqrt(5))/(3 sqrt(5)) + (sqrt(5))/(3 sqrt(5)) - 5 D

5 D = (1)/(3) + (1)/(3) + 1 = (2)/(3) + (3)/(3) = (5)/(3) -> D = (1)/(3)

Agora, vamos apenas olhar o termo constante da expressão abaixo, que será:

z^2 - 1 = A (z + sqrt(5)) (z^2 + 1) + B (z - sqrt(5)) (z^2 + 1) + (C + D) ( z^2 - 5 )

A sqrt(5) - sqrt(5) B - 5 C - 5 D = (1)/(3 sqrt(5)) sqrt(5) + sqrt(5) (1)/(3 sqrt(5)) - (5)/(3) - 5 C = (1)/(3) + (1)/(3) - (5)/(3) - 5 C = - 1 - 5 C

Esse termo deve ser igual ao termo constante do lado esquerdo, isso vem da igualdade de polinômios. Dessa forma,

- 1 - 5 C = - 1 -> C = 0

E a decomposição é:

(z^2 - 1)/((z^2 + 1) (z - sqrt(5)) (z + sqrt(5))) = ((1)/(3 sqrt(5)))/(z - sqrt(5)) + (- (1)/(3 sqrt(5)))/(z + sqrt(5)) + ((1)/(3))/(z^2 + 1)

Passo 3

A partir da decomposição anterior, temos:

5 int (z^2 - 1)/(( z^2 + 1 ) ( z^2 - 5 )) d z = 5 int (((1)/(3 sqrt(5)))/(z - sqrt(5)) + (- (1)/(3 sqrt(5)))/(z + sqrt(5)) + ((1)/(3))/(z^2 + 1)) d z

= (5)/(3 sqrt(5)) int ((d z)/(z - sqrt(5))) - (5)/(3 sqrt(5)) int ((d z)/(z + sqrt(5))) + (5)/(3) int ((1)/(z^2 + 1)) d z

Passo 4

Para resolver as integrais, nós vamos utilizar a fórmula int (1)/(x - a) d x = ln |x - a| + C . Dessa forma,

int ((d z)/(z - sqrt(5))) = ln |z - sqrt(5)| + C e int ((d z)/(z + sqrt(5))) = ln |z + sqrt(5)| + C

Agora, para resolver a terceira integral, basta lembrar que (tan^(- 1) z) ' = (1)/(z^2 + 1) .

int ((1)/(z^2 + 1)) d z = tan^(- 1) z + 1

Prontinho.

Passo 5

Vamos substituir tudo na integral.

5 int (z^2 - 1)/(( z^2 + 1 ) ( z^2 - 5 )) d z = (5)/(3 sqrt(5)) int ((d z)/(z - sqrt(5))) - (5)/(3 sqrt(5)) int ((d z)/(z + sqrt(5))) + (5)/(3) int ((d z)/(z^2 + 1))

= (5)/(3 sqrt(5)) ln |z - sqrt(5)| - (5)/(3 sqrt(5)) ln |z + sqrt(5)| + (5)/(3) tan^(- 1) z + + C

5 int (z^2 - 1)/(( z^2 + 1 ) ( z^2 - 5 )) d z = (sqrt(5))/(3) ln |z - sqrt(5)| - (sqrt(5))/(3) ln |z + sqrt(5)| + (5)/(3) tan^(- 1) z + + C

Passo 6

A integral inicial foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável também. Sendo assim,

int (5 d x)/(6 + 4 sec x) = (sqrt(5))/(3) ln |z - sqrt(5)| - (sqrt(5))/(3) ln |z + sqrt(5)| + (5)/(3) tan^(- 1) z + + C

int (5 d x)/(6 + 4 sec x) = (sqrt(5))/(3) ln |tan ((x)/(2)) - sqrt(5)| - (sqrt(5))/(3) ln |tan ((x)/(2)) + sqrt(5)| + (5)/(3) tan^(- 1) (tan ((x)/(2))) + + C

int (5 d x)/(6 + 4 sec x) = (sqrt(5))/(3) ln |tan ((x)/(2)) - sqrt(5)| - (sqrt(5))/(3) ln |tan ((x)/(2)) + sqrt(5)| + (5)/(3) * (x)/(2) + C

int (5 d x)/(6 + 4 sec x) = (5 x)/(6) + (sqrt(5))/(3) ln |tan ((x)/(2)) - sqrt(5)| - (sqrt(5))/(3) ln |tan ((x)/(2)) + sqrt(5)| + C

Esse é o resultado.

Resposta

int (5 d x)/(6 + 4 sec x) = (5 x)/(6) + (sqrt(5))/(3) ln |tan ((x)/(2)) - sqrt(5)| - (sqrt(5))/(3) ln |tan ((x)/(2)) + sqrt(5)| + C

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