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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 18

Calcule a integral definida

int_0^(pi) ( sen x - 2 ) ² d x

usando os resultados:

int_0^(pi) sen x d x = 2 int_0^(pi) cos x d x = 0 int_0^(pi) sen^2 x d x = (1)/(2) pi

Passo 1

Queremos colocar a integral do problema em termos de int_0^(pi) sen x d x , int_0^(pi) cos x d x e/ou int_0^(pi) sen^2 x d x , pra substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Porém, não conseguimos substituir do jeito que a integral está, precisamos primeiro resolver o quadrado e depois aplicar as propriedades de integral.

Passo 2

O primeiro a se fazer é resolver o quadrado:

int_0^(pi) ( sen x - 2 ) ² d x = int_0^(pi) ( sen^2 x - 4 sen x + 4 ) d x

Agora temos a integral em termos de sen^2 x e sen x , então podemos calculá-la com os dados do problema.

Passo 3

Usando as propriedades de integral, podemos separá-la em três partes:

int_0^(pi) ( sen^2 x - 4 sen x + 4 ) d x = int_0^(pi) sen^2 x d x - int_0^(pi) 4 sen x d x + int_0^(pi) 4 d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

int_0^(pi) sen^2 x d x - int_0^(pi) 4 sen x d x + int_0^(pi) 4 d x = int_0^(pi) sen^2 x d x - 4 int_0^(pi) sen x d x + 4 int_0^(pi) d x

Agora que já temos a integral em termos de int_0^(pi) sen^2 x d x e int_0^(pi) sen x d x , basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 4

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

int_0^(pi) sen^2 x d x - 4 int_0^(pi) sen x d x + 4 int_0^(pi) d x = (1)/(2) pi - 4 * 2 + 4 (pi - 0)

(1)/(2) pi + 4 pi - 8 = (9)/(2) pi - 8

Resposta

int_0^(pi) ( sen x - 2 ) ² d x = (9)/(2) pi - 8

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