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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 24

Aplique o Teorema 5.6.9 para encontrar um intervalo fechado contendo a integral definida dada:

∫ - 2 1 x + 1 2 / 3   d x

(Teorema dado no livro)

Passo 1

O Teorema apresentado na questão diz que se temos uma função f x com máximo M e mínimo m dentro de um intervalo [ a , b ] , o valor de ∫ a b f x d x estará entre m ( b - a ) e M ( b - a ) . O que queremos então é encontrar os valores máximo e mínimo da função f x = x + 1 2 / 3 no intervalo [ - 2,1 ] para então aplicar o teorema e saber entre que valores está a integral.

Passo 2

Primeiro analisaremos o gráfico da função f x = x + 1 2 / 3 , para definirmos o máximo e mínimo absoluto no intervalo [ - 2,1 ] . Derivando a função, temos:

f ' x = 2 3 x + 1 2 / 3 - 1 = 2 3 x + 1 - 1 / 3 = 2 3 x + 1 3

Podemos ter um máximo ou mínimo relativo quando f ' ( x ) for zero ou quando não existir. O valor 2 3 x + 1 3 é sempre diferente de 0 , porém não existe quando o denominador é 0 , ou seja, quando x = - 1 . Além disso, pra x < - 1 a derivada é negativa(função decrescente) e pra x > - 1 a derivada é positiva(função crescente). Então temos em x = - 1 um mínimo local e o valor da função é f - 1 = - 1 + 1 2 / 3 = 0 . Agora precisamos analisar também os extremos do intervalo. Em x = - 2 temos f - 2 = - 2 + 1 2 / 3 = - 1 2 / 3 = 1 . Em x = 1 temos f 1 = 1 + 1 2 / 3 = 2 2 / 3 = 4 3 . O mínimo absoluto do intervalo é então m = f - 1 = 0 e o máximo é M = f 1 = 4 3 . Como já temos os valores m e M , podemos aplicar o teorema.

Passo 3

Aplicando diretamente o teorema, tendo a , b = [ - 2,1 ] , m = 0 e M = 4 3 , sabemos então que:

m 1 - - 2 ≤   ∫ - 2 1 x + 1 2 3   d x ≤ M 1 - - 2

⇒ 0 ⋅ 1 + 2 ≤   ∫ - 2 1 x + 1 2 / 3   d x ≤ 4 3 ⋅ ( 1 + 2 )

⇒ 0 ≤ ∫ - 2 1 x + 1 2 / 3   d x ≤ 3 4 3

Resposta

∫ - 2 1 x + 1 2 / 3   d x ∈ [ 0,3 4 3 ]

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