Calcule a integral definida

∫ 0 π cos ⁡ x + 4 2 d x

usando os resultados:

∫ 0 π sen ⁡ x d x = 2             ∫ 0 π cos ⁡ x   d x = 0 ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x = 1 2 π

Passo 1

Queremos colocar a integral do problema em termos de ∫ 0 π sen ⁡ x d x , ∫ 0 π cos ⁡ x   d x e/ou ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x , pra substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Porém, não conseguimos substituir do jeito que a integral está, precisamos primeiro resolver o quadrado e depois aplicar as propriedades de integral.

Passo 2

O primeiro a se fazer é resolver o quadrado:

∫ 0 π cos ⁡ x + 4 2 d x =   ∫ 0 π ( cos 2 ⁡ x + 8 cos ⁡ x + 16 )   d x

Agora temos a integral em termos de cos 2 ⁡ x e cos ⁡ x , mas o enunciado não nos dá a informação da integral de cos 2 ⁡ x e sim de sen 2 ⁡ x , o que fazer? Sempre que quisermos achar sen 2 ⁡ x através de cos 2 ⁡ x e vice versa podemos usar a identidade fundamental trigonométrica:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 ⇒ cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Substituindo então cos 2 ⁡ x por 1 - s e n 2 x na integral, ela fica:

∫ 0 π ( cos 2 ⁡ x + 8 cos ⁡ x + 16 ) d x =   ∫ 0 π ( 1 - sen 2 x ⁡ + 8 cos ⁡ x + 16 )   d x

= ∫ 0 π ( 17 - sen 2 ⁡ x + 8 cos ⁡ x )   d x

Agora temos a integral em termos de sen 2 ⁡ x e cos ⁡ x , então podemos calculá-la com os dados do problema.

Passo 3

Usando as propriedades de integral, podemos separá-la em três partes:

∫ 0 π ( 17 - sen 2 ⁡ x + 8 cos ⁡ x )   d x = ∫ 0 π 17 d x - ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x + ∫ 0 π 8 cos ⁡ x   d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

∫ 0 π 17 d x - ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x + ∫ 0 π 8 cos ⁡ x   d x = 17 ∫ 0 π d x - ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x + 8 ∫ 0 π cos ⁡ x   d x

Agora que já temos a integral em termos de ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x e ∫ 0 π cos ⁡ x   d x , basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 4

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

17 ∫ 0 π d x - ∫ 0 π sen 2 ⁡ x   d x + 8 ∫ 0 π cos ⁡ x   d x = 17 π - 0 - 1 2 π + 8 ⋅ 0

= 17 π - 1 2 π = 34 2 - 1 2 π = 33 2 π .

Resposta

∫ 0 π cos ⁡ x + 4 2 d x = 33 2 π

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