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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 17

Calcule a integral definida

int_0^(pi) (cos x + 4)^2 d x

usando os resultados:

int_0^(pi) sen x d x = 2 int_0^(pi) cos x d x = 0 int_0^(pi) sen^2 x d x = (1)/(2) pi

Passo 1

Queremos colocar a integral do problema em termos de int_0^(pi) sen x d x , int_0^(pi) cos x d x e/ou int_0^(pi) sen^2 x d x , pra substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Porém, não conseguimos substituir do jeito que a integral está, precisamos primeiro resolver o quadrado e depois aplicar as propriedades de integral.

Passo 2

O primeiro a se fazer é resolver o quadrado:

int_0^(pi) (cos x + 4)^2 d x = int_0^(pi) ( cos^2 x + 8 cos x + 16 ) d x

Agora temos a integral em termos de cos^2 x e cos x , mas o enunciado não nos dá a informação da integral de cos^2 x e sim de sen^2 x , o que fazer? Sempre que quisermos achar sen^2 x através de cos^2 x e vice versa podemos usar a identidade fundamental trigonométrica:

sen^2 x + cos^2 x = 1 => cos^2 x = 1 - sen^2 x

Substituindo então cos^2 x por 1 - s e n^2 x na integral, ela fica:

int_0^(pi) ( cos^2 x + 8 cos x + 16 ) d x = int_0^(pi) ( 1 - sen^2 x + 8 cos x + 16 ) d x

= int_0^(pi) ( 17 - sen^2 x + 8 cos x ) d x

Agora temos a integral em termos de sen^2 x e cos x , então podemos calculá-la com os dados do problema.

Passo 3

Usando as propriedades de integral, podemos separá-la em três partes:

int_0^(pi) ( 17 - sen^2 x + 8 cos x ) d x = int_0^(pi) 17 d x - int_0^(pi) sen^2 x d x + int_0^(pi) 8 cos x d x

Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:

int_0^(pi) 17 d x - int_0^(pi) sen^2 x d x + int_0^(pi) 8 cos x d x = 17 int_0^(pi) d x - int_0^(pi) sen^2 x d x + 8 int_0^(pi) cos x d x

Agora que já temos a integral em termos de int_0^(pi) sen^2 x d x e int_0^(pi) cos x d x , basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.

Passo 4

Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final

17 int_0^(pi) d x - int_0^(pi) sen^2 x d x + 8 int_0^(pi) cos x d x = 17 (pi - 0) - (1)/(2) pi + 8 * 0

= 17 pi - (1)/(2) pi = ((34)/(2) - (1)/(2)) pi = (33)/(2) pi .

Resposta

int_0^(pi) (cos x + 4)^2 d x = (33)/(2) pi

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