Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 11
Calcule a integral definida
usando os resultados:
Passo 1
Queremos decompor a integral dada, colocando-a em termos de e pra substituirmos pelos valores dados pelo enunciado. Pra isso, precisamos lembrar de uma propriedade importantíssima das integrais:
Se as funções e forem integráveis no intervalo então será integrável no intervalo e:
Ou seja, podemos separar as funções e integrá-las uma a uma! Uma outra propriedade diz que:
Esta outra nos permite tirar um número constante de dentro da integral.
Mas antes, temos um problema: a gente tem como informações as integrais de e de , então precisamos resolver o quadrado para conseguirmos e separados, pra assim conseguir decompor a integral.
Passo 2
Primeiro vamos resolver o quadrado:
Aqui usamos o produto notável do quadrado de uma soma. Então ficamos com a integral assim:
Agora que já temos a expressão do jeito que a gente quer, podemos separar a integral e transformá-la em uma combinação de .
Passo 3
Primeiro usamos a primeira propriedade falada no passo 1 para dividir a integral em três:
Agora, tirando as constantes de dentro das integrais:
Mas agora temos um outro problema: o enunciado dá pra gente as integrais de e indo de -1 a 2, mas nós temos na nossa expressão e , ou seja, com limites de integração indo de 2 a -1. É como se estivéssemos “integrando ao contrário”, mas calma. Uma outra propriedade diz que:
Ou seja, quando “integramos ao contário”, o resultado é multiplicado por -1. Então, o nosso resultado fica:
Já temos então o que queríamos, basta resolver o resto por substituição direta dos dados do problema.
Passo 4
Usando os dados do problema e substituindo, chegamos no resultado final