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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 21

Calcule a integral indefinida:

int (3 x d x)/(sqrt(1 - x^4))

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? Essa integral será resolvida por substituição, pessoal, mas antes precisamos dar uma arrumada nela, vejam só:

I = int (3 x d x)/(sqrt(1 - x^4)) = int (3 x d x)/(sqrt(1 - (x^2)^2))

Usei a propriedade (a)^(b c) = (a^b)^c . Quando ela está nesse formato nós conseguimos verificar um x^2 no denominador e no númerador tem um polinômio de grau 1 , então vamos fazer a substituição, pois a derivada de um polinômio de grau 2 é um polinômio de grau 1.

Passo 2

Faremos a substituição u = x^2 e derivando temos d u = 2 x d x .

Passo 3

Agora vamos manipular a expressão de d u , para ficar igual a alguma parte da integral.

Multiplicando por tudo por (3)/(2) , ficamos com (3)/(2) d u = (3)/(2) * 2 x d x = 3 x d x .

Agora sim! Temos justamente o numerador da integral.

Passo 4

Neste passo, nós trocamos a variável da integral transformando em uma integral na variável u .

I = int (3 x d x)/(sqrt(1 - (x^2)^2)) = int ((3)/(2) d u)/(sqrt(1 - u^2)) = (3)/(2) int (d u)/(sqrt(1 - u^2))

Prontinho! Agora temos uma integral totalmente em u , e ainda por cima é uma integral imediata.

Passo 5

Agora resolveremos essa integral:

I = (3)/(2) int (d u)/(sqrt(1 - u^2)) = (3)/(2) sen^(- 1) u + C

Aqui devemos lembrar que ( sen^(- 1) u ) ' = (1)/(sqrt(1 - u^2)) , então essa era justamente a primitiva que precisávamos.

Não se esqueça da constante da integral indefinida, hein.

Passo 6

O último passo é voltar na variável original x . Como o problema deu uma integral indefinida na variável x , nós devemos dar a resposta nessa variável também. Lembre que u = x^2 .

int (3 x d x)/(sqrt(1 - x^4)) = (3)/(2) sen^(- 1) u + C = (3)/(2) sen^(- 1) (x^2) + C

Resposta

int (3 x d x)/(sqrt(1 - x^4)) = (3)/(2) sen^(- 1) (x^2) + C

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